Encontre o comprimento exato das curvas:
24 x y = y^4 + 48, 2 <= y <= 3.

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar o comprimento exato da curva definida por no intervalo de .
Conteúdo da matéria: Vamos usar o cálculo do comprimento de uma curva função de .
O que vamos precisar: Primeiro, isolar em termos de , depois calcular a derivada de em relação a e, por fim, aplicar a fórmula do comprimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, :

Passo 4

A fórmula para o comprimento da curva entre e é:
Vamos substituir os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral para o comprimento da curva:
Essa integral representa o comprimento exato da curva no intervalo dado.

Resposta

O comprimento exato da curva é dado pela integral:

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