Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función . El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
En el punto ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma montanha que é modelada por uma função matemática . Essa função nos dá a altitude da montanha em qualquer ponto . O eixo positivo aponta para o leste e o eixo positivo aponta para o norte. O que a gente precisa descobrir é: no ponto , em que direção a altitude está aumentando mais rápido? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que mostra a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente. Para encontrar o gradiente, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente:

Passo 6

Vamos agora calcular o gradiente no ponto específico :
Isso significa que a direção de maior aumento da altitude nesse ponto é na direção do vetor .

Resposta

No ponto , a altitude aumenta mais rapidamente na direção do vetor , ou seja, na direção oeste-sul.

Exercícios relacionados

Considere a curva parametrizada por .
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
Compare as curvas representadas pelas parametrizações. Em que elas diferem?

Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función . El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
Si se suelta una pelota en , ¿en qué dirección comenzará a rodar?
De entre todas las cajas rectangulares con área total constante e igual a 10 m 2 , hallar las dimensiones de la caja que tiene mayor volumen.