Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función
. El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
En el punto
¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud?
En el punto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma montanha que é modelada por uma função matemática
. Essa função nos dá a altitude da montanha em qualquer ponto
. O eixo
positivo aponta para o leste e o eixo
positivo aponta para o norte. O que a gente precisa descobrir é: no ponto
, em que direção a altitude está aumentando mais rápido? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que mostra a direção de maior aumento de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente. Para encontrar o gradiente, a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente:
Passo 6
Vamos agora calcular o gradiente no ponto específico
:
Isso significa que a direção de maior aumento da altitude nesse ponto é na direção do vetor
.
Resposta
No ponto
, a altitude aumenta mais rapidamente na direção do vetor
, ou seja, na direção oeste-sul.
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.
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