Una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico modelizada por la función f(x, y) = 2500 - 5x^2 - 10y^2. El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo hacia el norte.
En el punto 1 ; 1 ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma montanha que é modelada por uma função matemática . Essa função nos dá a altitude da montanha em qualquer ponto (x, y). O eixo x positivo aponta para o leste e o eixo y positivo aponta para o norte. O que a gente precisa descobrir é: no ponto (1, 1), em que direção a altitude está aumentando mais rápido? Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente, que mostra a direção de maior aumento de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente. Para encontrar o gradiente, a gente precisa calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y:

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos formar o vetor gradiente:

Passo 6

Vamos agora calcular o gradiente no ponto específico (1, 1):
Isso significa que a direção de maior aumento da altitude nesse ponto é na direção do vetor .

Resposta

No ponto (1, 1), a altitude aumenta mais rapidamente na direção do vetor , ou seja, na direção oeste-sul.

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