Considere a curva parametrizada por {x = ln^2(t) + 1, y = ln(t) ; t in [1, e]}.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por e , onde varia de 1 até . O objetivo é formular a integral que representa o comprimento dessa curva usando coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de curva no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva. Se a curva está parametrizada por , a fórmula é:
Aqui, e são as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Para ,
Para ,

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Isso nos dá:

Resposta

A integral que representa o comprimento da curva é:

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