Considere a curva parametrizada por
.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma curva definida por
e
, onde
varia de 1 até
. O objetivo é formular a integral que representa o comprimento dessa curva usando coordenadas cartesianas. Para isso, vamos precisar usar a fórmula de comprimento de curva no cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva. Se a curva está parametrizada por
, a fórmula é:
Aqui,
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Para
,
Para
,
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Isso nos dá:
Resposta
A integral que representa o comprimento da curva é: