Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
q(x) = { x se x <= 1, 1/x se x >= 1 }, P(1, 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão envolve derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Queremos comparar as derivadas à direita e à esquerda da função no ponto para mostrar que a função não é derivável nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais e verificar se elas são iguais.

Passo 2

Vamos analisar a função em torno do ponto . A função é definida de forma diferente para e para :

Passo 3

Primeiro, calcularemos a derivada à esquerda de . Para , a função é . A derivada de em relação a é simplesmente:
Portanto, a derivada à esquerda em é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada à direita de . Para , a função é . A derivada de em relação a é:
Substituindo :
Portanto, a derivada à direita em é -1.

Passo 5

Comparando as derivadas laterais:
  • Derivada à esquerda: 1
  • Derivada à direita: -1
Como as derivadas à esquerda e à direita são diferentes ( ), concluímos que a função não é derivável no ponto .

Resposta

As derivadas à esquerda e à direita em são 1 e -1, respectivamente. Como elas são diferentes, a função não é derivável no ponto .

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