(2 pontos) Mostre que a curvatura de uma circunferência é constante.
Dica: Calcule a curvatura de uma circunferência de raio e verifique que este resultado independe do parâmetro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a curvatura de uma circunferência é constante. Isso está ligado ao conteúdo de geometria diferencial, onde a curvatura mede o quanto uma curva está “dobrando” em cada ponto. Para resolver, vamos calcular a curvatura de uma circunferência com raio e verificar que esse valor não depende do parâmetro que geralmente representa o ângulo ou a posição ao longo da circunferência.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula da curvatura para uma curva parametrizada por :
Aqui, e são as funções que descrevem a posição na circunferência em termos de .

Passo 3

Vamos parametrizar a circunferência de raio usando funções trigonométricas:
Essa parametrização percorre a circunferência completando um ciclo conforme varia de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
Essas derivadas representam as velocidades e acelerações nas direções e respectivamente.

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
No denominador:
Então, a expressão da curvatura fica:

Resposta

A curvatura da circunferência é constante e igual a .

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.
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Resolva a equação diferencial com condição inicial: .