(2 pontos) Mostre que a curvatura de uma circunferência é constante.
Dica: Calcule a curvatura de uma circunferência de raio
e verifique que este resultado independe do parâmetro
.
Dica: Calcule a curvatura de uma circunferência de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a curvatura de uma circunferência é constante. Isso está ligado ao conteúdo de geometria diferencial, onde a curvatura mede o quanto uma curva está “dobrando” em cada ponto. Para resolver, vamos calcular a curvatura de uma circunferência com raio
e verificar que esse valor não depende do parâmetro
que geralmente representa o ângulo ou a posição ao longo da circunferência.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula da curvatura
para uma curva parametrizada por
:
Aqui,
e
são as funções que descrevem a posição na circunferência em termos de
.
Passo 3
Vamos parametrizar a circunferência de raio
usando funções trigonométricas:
Essa parametrização percorre a circunferência completando um ciclo conforme
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
Essas derivadas representam as velocidades e acelerações nas direções
e
respectivamente.
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula da curvatura:
Simplificando o numerador:
No denominador:
Então, a expressão da curvatura fica:
Resposta
A curvatura da circunferência é constante e igual a
.
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Derive as funções
Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
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Derive as funções
Resolva a equação diferencial com condição inicial:
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