Derive as funções

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para derivar a função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como a regra do produto e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vão precisar da regra do produto. A função é o produto de duas partes: e . Vamos chamar essas partes de e , respectivamente.
Então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra do produto para derivadas. Se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada de é dada por:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos começar derivando . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .
Derivando:
Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Isso é mais simples, usamos a regra básica de derivação para polinômios:

Passo 6

Com e em mãos, vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Podemos simplificar e multiplicar os termos:
Então:

Passo 8

Agora, juntando os dois termos:
Para combinar as frações, precisamos de um denominador comum, que é :

Passo 9

Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
.
Determine uma equação para a reta tangente no ponto indicado no gráfico da função.
.
(2 pontos) Mostre que a curvatura de uma circunferência é constante.
Dica: Calcule a curvatura de uma circunferência de raio e verifique que este resultado independe do parâmetro .
Derive as funções