(1 ponto) Determine o comprimento da hélice dada por:
sigma(t) = <cos(3t), sen(3t), 4t>
tal que 0 <= t <= 4 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o comprimento da hélice definida por no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de comprimento de curva paramétrica. Precisamos calcular a derivada de , encontrar a sua magnitude e integrar isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A derivada de cada componente vetorial nos dá :

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de , que é necessário para o comprimento da curva:
Simplificando:
Legal, a magnitude é constante e igual a 5!

Passo 4

Com a magnitude constante, o comprimento da curva é simplesmente a magnitude multiplicada pelo intervalo de :

Resposta

O comprimento da hélice é unidades.

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