Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O ponto em questão é . A tarefa é comparar as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto para mostrar que a função não é derivável em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada à esquerda e à direita em um ponto nos dizem como a função está se comportando ao se aproximar desse ponto por valores menores ou maiores, respectivamente. Se essas duas derivadas forem diferentes, a função não terá uma derivada única nesse ponto, ou seja, não será derivável ali.

Passo 3

Vamos calcular a derivada à esquerda em . Para isso, consideramos a parte da função que vale para , que é constante:
A derivada de uma constante é zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada à direita em . Consideramos a parte da função que vale para :
A derivada de em relação a é:
Então, em :

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como , as derivadas à esquerda e à direita em são diferentes.

Resposta

Portanto, como as derivadas à direita e à esquerda em são diferentes, a função não é derivável neste ponto.

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