Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O ponto em questão é
. A tarefa é comparar as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto para mostrar que a função não é derivável em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada à esquerda e à direita em um ponto nos dizem como a função está se comportando ao se aproximar desse ponto por valores menores ou maiores, respectivamente. Se essas duas derivadas forem diferentes, a função não terá uma derivada única nesse ponto, ou seja, não será derivável ali.
Passo 3
Vamos calcular a derivada à esquerda em
. Para isso, consideramos a parte da função que vale para
, que é constante:
A derivada de uma constante é zero. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada à direita em
. Consideramos a parte da função que vale para
:
A derivada de
em relação a
é:
Então, em
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como
, as derivadas à esquerda e à direita em
são diferentes.
Resposta
Portanto, como as derivadas à direita e à esquerda em
são diferentes, a função não é derivável neste ponto.
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Resolva a equação diferencial com condição inicial:
.
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
.
Derive as funções
Derive as funções: