Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial não homogênea:
, e algumas condições iniciais:
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais pra encontrar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a equação característica, que é
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, temos:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes que a gente vai determinar depois.
Passo 4
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo independente é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante. Vamos supor que
, onde
é uma constante.
Passo 5
Substituindo
na equação, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, usamos
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Agora, derivamos a solução geral para achar
:
Aplicando a condição
:
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 9
Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Resposta
Então, a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
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Derive as funções:
Derive as funções
Resolva a equação diferencial com condição inicial:
.
Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
.