Resolva as equações diferenciais não homogêneas: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial não homogênea: , e algumas condições iniciais: e . O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais pra encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a equação característica, que é .

Passo 3

Resolvendo a equação característica , temos:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes que a gente vai determinar depois.

Passo 4

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa . Como o termo independente é uma constante, vamos tentar uma solução particular também constante. Vamos supor que , onde é uma constante.

Passo 5

Substituindo na equação, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, usamos :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 8

Agora, derivamos a solução geral para achar :
Aplicando a condição :
Podemos simplificar dividindo por :

Passo 9

Agora temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:

Resposta

Então, a solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:

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Resolva a equação diferencial com condição inicial: .
Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
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