Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente comparar as derivadas à direita e à esquerda da função no ponto . Isso está na área de cálculo, especificamente estudando derivadas laterais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas a partir da definição e aplicar isso tanto do lado positivo quanto do negativo de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada à direita e à esquerda. A derivada à direita de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando se aproxima desse ponto por valores maiores. Já a derivada à esquerda considera se aproximando por valores menores.
Matematicamente, para a derivada à direita em :
E para a derivada à esquerda:

Passo 3

Vamos calcular a derivada à direita, . Sabemos que para , . Então,
Então, a derivada à direita é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada à esquerda, . Para , . Assim,
Portanto, a derivada à esquerda é 0.

Passo 5

Comparando as duas derivadas:
Como as derivadas à direita e à esquerda são diferentes, isso significa que a função não possui derivada em .

Resposta

A função não é derivável no ponto , pois as derivadas à direita e à esquerda são diferentes ( e ).

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