Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente comparar as derivadas à direita e à esquerda da função
no ponto
. Isso está na área de cálculo, especificamente estudando derivadas laterais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas a partir da definição e aplicar isso tanto do lado positivo quanto do negativo de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada à direita e à esquerda. A derivada à direita de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação da função quando
se aproxima desse ponto por valores maiores. Já a derivada à esquerda considera
se aproximando por valores menores.
Matematicamente, para a derivada à direita em
:
E para a derivada à esquerda:
Passo 3
Vamos calcular a derivada à direita,
. Sabemos que para
,
. Então,
Então, a derivada à direita é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada à esquerda,
. Para
,
. Assim,
Portanto, a derivada à esquerda é 0.
Passo 5
Comparando as duas derivadas:
Como as derivadas à direita e à esquerda são diferentes, isso significa que a função
não possui derivada em
.
Resposta
A função
não é derivável no ponto
, pois as derivadas à direita e à esquerda são diferentes (
e
).
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Derive as funções:
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Nos problemas 27-30 encontre os valores de
de forma que a função
seja a solução da equação diferencial dada.
Para quais valores de
o limite
existe?