Nos problemas 27-30 encontre os valores de
de forma que a função
seja a solução da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
e uma equação diferencial
. A missão é encontrar o valor de
que faz com que essa função seja uma solução válida dessa equação. Vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial. Basicamente, é uma equação que relaciona uma função com suas derivadas. Aqui, temos
que representa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da nossa função
. Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Isso vem da regra da derivada da função exponencial.
Passo 4
Substituímos
e
na equação diferencial dada. Ou seja:
Aqui, estamos substituindo
por
e
por
.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir ambos os lados por
(que não é zero):
Isso porque
cancela dos dois lados.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
O valor de
que faz a função
ser solução da equação diferencial
é
.
Exercícios relacionados
Compare as derivadas à direita e à esquerda para mostrar que as funções não são deriváveis no ponto P .
.
Derive as funções:
Para quais valores de
o limite
existe?
Nos exercicios 9-22, escreva as funções na forma
e
. Em seguida, determine
função de
.