Para quais valores de o limite existe?

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pergunta para quais valores de o limite existe. Aqui, estamos lidando com funções e limites, então vamos precisar entender como a função se comporta e quando ela é contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse símbolo geralmente representa a função parte inteira ou função maior inteiro, que dá o maior número inteiro menor ou igual a . Por exemplo, e .

Passo 3

Agora, para que o limite exista, a função precisa ser contínua no ponto . Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda e à direita desse ponto existem e são iguais ao valor da função nesse ponto.

Passo 4

Vamos analisar onde a função parte inteira pode ter descontinuidades. Imagine o gráfico da função : ela é constante entre dois números inteiros, mas “salta” de um inteiro para outro exatamente nos números inteiros. Por exemplo, quando se aproxima de 3 a partir da esquerda ( ), , e se a partir da direita ( ), . Esses “saltos” são pontos de descontinuidade.

Passo 5

Portanto, a função parte inteiro não é contínua nos números inteiros porque apresenta esse salto. Já nos números que não são inteiros, a função não dá esse salto e permanece constante em um intervalo, o que significa que é contínua nesses pontos.

Resposta

O limite existe para todo valor de que não seja um número inteiro.

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