Compare a esfericidade de duas partículas de mesmo e de mesmo material, sendo uma esférica e outra cilíndrica. A relação diâmetro/comprimento do cilindro é de 1 / 3. Prove que, neste caso, deq da partícula cilíndrica é igual ao deq da partícula esférica.

Passo 1

Ok, então a gente tem duas partículas feitas do mesmo material: uma é esférica e a outra é cilíndrica. A relação entre o diâmetro do cilindro e o comprimento dele é de . A gente precisa provar que o diâmetro equivalente ( ) da partícula cilíndrica é igual ao da partícula esférica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e propriedades das formas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o diâmetro equivalente ( ). Basicamente, é um diâmetro que representa uma dimensão característica de uma forma geométrica, facilitando a comparação entre diferentes formas. Para o nosso caso, vamos considerar que está relacionado ao volume das partículas, já que elas são do mesmo material e, portanto, devem ter volumes iguais se for igual.

Passo 3

Vamos calcular o volume da partícula esférica. A fórmula do volume de uma esfera é:
Vesfera = 43 pi ( D2 )^3 = pi D^36
onde é o diâmetro da esfera.

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume da partícula cilíndrica. A fórmula do volume de um cilindro é:
Vcilindro = pi ( D2 )^2 times L = pi D^2 L4
Sabemos que a relação entre diâmetro e comprimento é , ou seja, .

Passo 5

Substituindo Vcilindro = pi D^2 times 3D4 = 3pi D^34 na fórmula do volume do cilindro:

Passo 6

Para que os diâmetros equivalentes sejam iguais, os volumes das duas partículas devem ser iguais:
Vesfera = Vcilindro
pi D^36 = 3pi D^34
Simplificando:
16 = 34
16 neq 34
Parece que houve um erro na suposição. Na verdade, para que os diâmetros equivalentes sejam iguais, devemos considerar outra abordagem, como a área superficial ou outra propriedade geométrica.

Passo 7

Vamos considerar a igualdade das áreas superficiais. A área da esfera é:
Aesfera = pi D^2
A área do cilindro (considerando duas bases) é:
Acilindro = 2 pi ( D2 )^2 + 2 pi ( D2 ) L = pi D^22 + pi D L
Substituindo Acilindro = pi D^22 + pi D times 3D = pi D^22 + 3pi D^2 = 7pi D^22 :

Passo 8

Igualando as áreas:
Aesfera = Acilindro
pi D^2 = 7pi D^22
1 = 72
Ainda não está igual. Isso indica que a abordagem correta para igualar os diâmetros equivalentes não é diretamente igualando volumes ou áreas superficiais. A definição exata de precisa ser mais específica, provavelmente relacionada à esfericidade.

Resposta

Com base nos cálculos, a igualdade entre a esfera e o cilindro não se sustenta com as relações dadas. Portanto, é necessário revisar a definição de diâmetro equivalente ou considerar outros fatores geométricos para provar que da partícula cilíndrica é igual ao da partícula esférica.

Exercícios relacionados