Compare a esfericidade de duas partículas de mesmo e de mesmo material, sendo uma esférica e outra cilíndrica. A relação diâmetro/comprimento do cilindro é de
. Prove que, neste caso, deq da partícula cilíndrica é igual ao deq da partícula esférica.
Passo 1
Ok, então a gente tem duas partículas feitas do mesmo material: uma é esférica e a outra é cilíndrica. A relação entre o diâmetro do cilindro e o comprimento dele é de
. A gente precisa provar que o diâmetro equivalente (
) da partícula cilíndrica é igual ao da partícula esférica. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e propriedades das formas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o diâmetro equivalente (
). Basicamente,
é um diâmetro que representa uma dimensão característica de uma forma geométrica, facilitando a comparação entre diferentes formas. Para o nosso caso, vamos considerar que
está relacionado ao volume das partículas, já que elas são do mesmo material e, portanto, devem ter volumes iguais se
for igual.
Passo 3
Vamos calcular o volume da partícula esférica. A fórmula do volume de uma esfera é:
onde
é o diâmetro da esfera.
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume da partícula cilíndrica. A fórmula do volume de um cilindro é:
Sabemos que a relação entre diâmetro e comprimento é
, ou seja,
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume do cilindro:
Passo 6
Para que os diâmetros equivalentes sejam iguais, os volumes das duas partículas devem ser iguais:
Simplificando:
Parece que houve um erro na suposição. Na verdade, para que os diâmetros equivalentes sejam iguais, devemos considerar outra abordagem, como a área superficial ou outra propriedade geométrica.
Passo 7
Vamos considerar a igualdade das áreas superficiais. A área da esfera é:
A área do cilindro (considerando duas bases) é:
Substituindo
:
Passo 8
Igualando as áreas:
Ainda não está igual. Isso indica que a abordagem correta para igualar os diâmetros equivalentes não é diretamente igualando volumes ou áreas superficiais. A definição exata de
precisa ser mais específica, provavelmente relacionada à esfericidade.
Resposta
Com base nos cálculos, a igualdade
entre a esfera e o cilindro não se sustenta com as relações dadas. Portanto, é necessário revisar a definição de diâmetro equivalente ou considerar outros fatores geométricos para provar que
da partícula cilíndrica é igual ao da partícula esférica.
Exercícios relacionados
Determine o diâmetro equivalente de uma partícula isolada de uma amostra com 18 partículas esféricas de abóbora minimamente processada. A densidade da abóbora, obtida em laboratório, é de
e a massa de cada partícula é de
.
Calcular a velocidade terminal de partículas de café (podem ser consideradas esféricas) de
de diâmetro através do ar. A densidade das partículas é 1,03 . Condições do ar a 1 atm e
: viscosidade
.s e massa específica
.
Uma determinada partícula esférica
é conduzida por um determinado fluido a
,
.s com fluxo ascendente e a partícula sólida descende. Calcule a velocidade relativa utilizando os dois métodos. utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa.
Partículas esféricas são conduzidas em ar a
e 90 kPa de pressão. Se assume que as partículas são esféricas, com densidade de
, que o ar tem uma viscosidade de
e uma densidade de
. Calcule a velocidade relativa conforme dimensões a seguir?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)