Uma determinada partícula esférica dp=0,0032 m ; phip=0,96 ; rhop=0,998 kg / m^3 é conduzida por um determinado fluido a 22^circ C, rhof=0,98 kg / m^3 muf=1,5.10^-5 kg / m.s com fluxo ascendente e a partícula sólida descende. Calcule a velocidade relativa utilizando os dois métodos. utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula esférica com diâmetro de , esfericidade , densidade e ela está sendo conduzida por um fluido que está fluindo para cima com densidade e viscosidade dinâmica . A partícula sólida está descendo. Queremos calcular a velocidade relativa usando dois métodos diferentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças que atuam na partícula e como elas determinam a velocidade terminal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. Quando a partícula está descendo no fluido, temos duas principais forças atuando nela:
  1. Força de Gravitação (Peso da Partícula): É a força puxando a partícula para baixo, calculada por , onde é o volume da partícula e é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Força de Arrasto: É a força que o fluido exerce contra o movimento da partícula, empurrando-a para cima, e depende da velocidade relativa entre a partícula e o fluido.
A velocidade terminal ocorre quando essas duas forças se equilibram, ou seja, quando .

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume da partícula, já que precisamos dele para a força de gravidade. Como a partícula é esférica,
V = pi6 cdot dp^3
Substituindo os valores:
V = pi6 cdot (0,0032 , m)^3 approx 1,37 times 10^-7 , m^3

Passo 4

Vamos calcular a força de gravidade:
Fg = rhop cdot V cdot g = 0,998 , kg/m^3 cdot 1,37 times 10^-7 , m^3 cdot 9,81 , m/s^2 approx 1,34 times 10^-6 , N

Passo 5

Agora, vamos aos dois métodos para calcular a velocidade relativa. Geralmente, esses métodos se referem a:
  1. Método de Stokes: Aplicável para escoamentos laminares, onde o número de Reynolds ( ) é menor que 1.
  2. Método de Newton: Aplicável para escoamentos turbulentos, onde é grande.
Primeiro, precisamos calcular o número de Reynolds para decidir qual método usar.

Passo 6

O número de Reynolds é dado por:
Re = rhof cdot v cdot dpmuf
Como ainda não temos , vamos assumir inicialmente que o fluxo é laminar e usar o Método de Stokes para encontrar . Depois, podemos verificar se a suposição está correta.

Passo 7

Método de Stokes:
A força de arrasto segundo Stokes é:
Fd = 3 pi muf dp v
No equilíbrio, rhop V g = 3 pi muf dp v , então:
v = rhop V g3 pi muf dp
Resolvendo para v = 0,998 cdot 1,37 times 10^-7 cdot 9,813 pi cdot 1,5 times 10^-5 cdot 0,0032 approx 0,0086 , m/s :
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, vamos verificar o número de Reynolds com essa velocidade:
Re = 0,98 cdot 0,0086 cdot 0,00321,5 times 10^-5 approx 1,79
Como , a suposição de escoamento laminar não é totalmente válida. Portanto, precisamos usar o Método de Newton.

Passo 9

Método de Newton:
A força de arrasto segundo Newton é:
Fd = 12 cdot Cd cdot rhof cdot A cdot v^2
Onde:
  • rhop V g = 12 Cd rhof A v^2 é o coeficiente de arrasto.
  • v = raiz 2 rhop V gCd rhof A é a área frontal da partícula.
Igualando A = pi4 cdot (0,0032)^2 approx 8,042 times 10^-5 , m^2 :
v = raiz 2 cdot 0,998 cdot 1,37 times 10^-7 cdot 9,810,44 cdot 0,98 cdot 8,042 times 10^-5 approx 0,0037 , m/s
Para escoamentos turbulentos, pode ser assumido como aproximadamente 0,44 para esferas.
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Resposta

A velocidade relativa da partícula é aproximadamente pelo Método de Stokes e pelo Método de Newton.

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