Uma determinada partícula esférica é conduzida por um determinado fluido a , .s com fluxo ascendente e a partícula sólida descende. Calcule a velocidade relativa utilizando os dois métodos. utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula esférica com diâmetro de , esfericidade , densidade e ela está sendo conduzida por um fluido que está fluindo para cima com densidade e viscosidade dinâmica . A partícula sólida está descendo. Queremos calcular a velocidade relativa usando dois métodos diferentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças que atuam na partícula e como elas determinam a velocidade terminal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. Quando a partícula está descendo no fluido, temos duas principais forças atuando nela:
  1. Força de Gravitação (Peso da Partícula): É a força puxando a partícula para baixo, calculada por , onde é o volume da partícula e é a aceleração da gravidade ( ).
  2. Força de Arrasto: É a força que o fluido exerce contra o movimento da partícula, empurrando-a para cima, e depende da velocidade relativa entre a partícula e o fluido.
A velocidade terminal ocorre quando essas duas forças se equilibram, ou seja, quando .

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume da partícula, já que precisamos dele para a força de gravidade. Como a partícula é esférica,
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular a força de gravidade:

Passo 5

Agora, vamos aos dois métodos para calcular a velocidade relativa. Geralmente, esses métodos se referem a:
  1. Método de Stokes: Aplicável para escoamentos laminares, onde o número de Reynolds ( ) é menor que 1.
  2. Método de Newton: Aplicável para escoamentos turbulentos, onde é grande.
Primeiro, precisamos calcular o número de Reynolds para decidir qual método usar.

Passo 6

O número de Reynolds é dado por:
Como ainda não temos , vamos assumir inicialmente que o fluxo é laminar e usar o Método de Stokes para encontrar . Depois, podemos verificar se a suposição está correta.

Passo 7

Método de Stokes:
A força de arrasto segundo Stokes é:
No equilíbrio, , então:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, vamos verificar o número de Reynolds com essa velocidade:
Como , a suposição de escoamento laminar não é totalmente válida. Portanto, precisamos usar o Método de Newton.

Passo 9

Método de Newton:
A força de arrasto segundo Newton é:
Onde:
  • é o coeficiente de arrasto.
  • é a área frontal da partícula.
Igualando :
Para escoamentos turbulentos, pode ser assumido como aproximadamente 0,44 para esferas.
Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Resposta

A velocidade relativa da partícula é aproximadamente pelo Método de Stokes e pelo Método de Newton.

Exercícios relacionados

Compare a esfericidade de duas partículas de mesmo e de mesmo material, sendo uma esférica e outra cilíndrica. A relação diâmetro/comprimento do cilindro é de . Prove que, neste caso, deq da partícula cilíndrica é igual ao deq da partícula esférica.
Determine o diâmetro equivalente de uma partícula isolada de uma amostra com 18 partículas esféricas de abóbora minimamente processada. A densidade da abóbora, obtida em laboratório, é de e a massa de cada partícula é de .
Partículas esféricas são conduzidas em ar a e 90 kPa de pressão. Se assume que as partículas são esféricas, com densidade de , que o ar tem uma viscosidade de e uma densidade de . Calcule a velocidade relativa conforme dimensões a seguir?
a)
b)
c)
d)
e)
A água de uma piscina com 8 m de diâmetro e 3 m de altura acima do solo deve ser esvaziada destampando um tubo horizontal com 3 cm de diâmetro e 25 m de comprimento anexo à parte inferior da piscina. Determine a vazão máxima de descarga da água através do tubo.