Uma determinada partícula esférica
é conduzida por um determinado fluido a
,
.s com fluxo ascendente e a partícula sólida descende. Calcule a velocidade relativa utilizando os dois métodos. utilize os dois métodos estudados para calcular a velocidade relativa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula esférica com diâmetro de
, esfericidade
, densidade
e ela está sendo conduzida por um fluido que está fluindo para cima com densidade
e viscosidade dinâmica
. A partícula sólida está descendo. Queremos calcular a velocidade relativa usando dois métodos diferentes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre forças que atuam na partícula e como elas determinam a velocidade terminal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. Quando a partícula está descendo no fluido, temos duas principais forças atuando nela:
-
Força de Gravitação (Peso da Partícula): É a força puxando a partícula para baixo, calculada por
, onde é o volume da partícula e é a aceleração da gravidade ( ). -
Força de Arrasto: É a força que o fluido exerce contra o movimento da partícula, empurrando-a para cima, e depende da velocidade relativa entre a partícula e o fluido.
A velocidade terminal ocorre quando essas duas forças se equilibram, ou seja, quando
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume da partícula, já que precisamos dele para a força de gravidade. Como a partícula é esférica,
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos calcular a força de gravidade:
Passo 5
Agora, vamos aos dois métodos para calcular a velocidade relativa. Geralmente, esses métodos se referem a:
- Método de Stokes: Aplicável para escoamentos laminares, onde o número de Reynolds (
) é menor que 1. - Método de Newton: Aplicável para escoamentos turbulentos, onde
é grande.
Primeiro, precisamos calcular o número de Reynolds para decidir qual método usar.
Passo 6
O número de Reynolds é dado por:
Como ainda não temos
, vamos assumir inicialmente que o fluxo é laminar e usar o Método de Stokes para encontrar
. Depois, podemos verificar se a suposição está correta.
Passo 7
Método de Stokes:
A força de arrasto segundo Stokes é:
No equilíbrio,
, então:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos verificar o número de Reynolds com essa velocidade:
Como
, a suposição de escoamento laminar não é totalmente válida. Portanto, precisamos usar o Método de Newton.
Passo 9
Método de Newton:
A força de arrasto segundo Newton é:
Onde:
-
é o coeficiente de arrasto. -
é a área frontal da partícula.
Igualando
:
Para escoamentos turbulentos,
pode ser assumido como aproximadamente 0,44 para esferas.
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade relativa da partícula é aproximadamente
pelo Método de Stokes e
pelo Método de Newton.
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a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
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