Compare os mapeamentos do conjunto de pontos representado pela região definida por
quando submetido a transformação realizada pelas funçöes
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para comparar como duas funções transformam um conjunto de pontos no plano complexo. O conjunto de pontos é definido por
e
. Vamos usar conceitos de funções complexas para isso, especificamente as funções exponencial e a função imaginária. Precisaremos entender como cada função age nesse conjunto de pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conjunto de pontos que estamos lidando. A condição
significa que consideramos todos os números complexos cuja parte real é menor ou igual a zero, ou seja, estão no lado esquerdo do plano complexo. A segunda condição,
, restringe a parte imaginária desses números. Então, estamos olhando para uma região específica no lado esquerdo do plano complexo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira função:
. A função exponencial no plano complexo transforma linhas retas verticais (com parte real fixa) em círculos no plano complexo. Além disso, adicionando 1, estamos deslocando essa transformação para a direita no plano.
Passo 4
Para a segunda função:
, primeiro calculamos
. A função
pega apenas a parte imaginária do resultado dessa soma. Em seguida, multiplicamos por
, o que basicamente rotaciona o número resultante em 90 graus no plano complexo.
Passo 5
Vamos aplicar
ao conjunto de pontos. Como
, o expoente
terá módulo menor ou igual a 1, porque
. A adição de 1 desloca todos os pontos para a direita, então o mapeamento resultante estará em um disco de raio 1 centrado em 1 no plano complexo.
Passo 6
Agora, aplicando
ao mesmo conjunto. Primeiro, obtemos a parte imaginária de
, que varia conforme a parte imaginária de
. Multiplicando por
, essa parte imaginária se torna a parte real do novo número complexo, efetivamente projetando a transformação no eixo real.
Passo 7
Comparando os dois mapeamentos:
-
transforma a região original em um disco deslocado no plano complexo. -
projeta a parte imaginária da transformação no eixo real, resultando em uma linha ou segmento no eixo real, dependendo dos limites dados.
Resposta
Portanto, ao aplicar
, a região original é mapeada para um disco de raio 1 centrado em 1 no plano complexo. Já ao aplicar
, a região é projetada em um segmento no eixo real, variando conforme a parte imaginária de
dentro dos limites especificados.
Exercícios relacionados
Investigue o caráter das seguintes séries:
Determine o intervalo de convergência da série de potências
Investigue o caráter das seguintes séries:
Mostre que a função
é harmônica em um domínio
adequado. Em seguida obtenha uma função harmônica
de modo que
seja uma função analítica em D e que satisfaça a condição
. Identifique a parte real e a imaginária de
.