Investigue o caráter das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita da forma
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem um resultado finito) ou diverge (não tem um resultado finito). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e os critérios de teste de convergência que podemos usar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de série que estamos lidando. Note que temos um termo
, o que indica que a série é alternada (os sinais dos termos mudam de positivo para negativo e vice-versa). Séries alternadas têm características especiais que podemos explorar para determinar sua convergência.
Passo 3
Para séries alternadas, um dos principais testes que podemos usar é o Teste da Série Alternada. Esse teste nos diz que uma série alternada da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: para todo . - O limite dos termos
tende a zero: .
Vamos aplicar esse teste à nossa série.
Passo 4
Primeiro, definimos
. Precisamos verificar se
é uma sequência decrescente e se seu limite é zero quando
tende ao infinito.
Passo 5
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Então,
.
Passo 6
O Teste da Série Alternada exige que
para que a série convirja. Como nesse caso o limite é
, que não é igual a zero, o teste nos diz que a série não converge. Na verdade, se o limite dos termos não é zero, a série definitivamente diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Compare os mapeamentos do conjunto de pontos representado pela região definida por
quando submetido a transformação realizada pelas funçöes
e
Investigue o caráter das seguintes séries:
Mostre que a função
é harmônica em um domínio
adequado. Em seguida obtenha uma função harmônica
de modo que
seja uma função analítica em D e que satisfaça a condição
. Identifique a parte real e a imaginária de
.
Expressar A, B e C em termos de
e
, sendo que: