Investigue o caráter das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Estamos falando de séries infinitas, então vamos precisar usar alguns testes de convergência para chegar a uma conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série:
. Para entender o comportamento da série, é bom analisar como esse termo se comporta quando
fica muito grande.
Passo 3
Vamos simplificar
. Dividindo numerador e denominador por
, temos:
Quando
tende ao infinito,
vai para 0, então
tende a 1. Mas como esse termo é elevado a
, precisamos ver mais de perto.
Passo 4
Vamos reescrever
usando propriedades de potências:
Agora, lembra que
tende a
quando
vai para o infinito. Mas aqui temos
no expoente, então vamos adaptar isso.
Passo 5
Vamos fazer uma aproximação usando logaritmo:
Para
pequeno,
. Então:
Portanto:
Passo 6
Agora, com essa aproximação, a nossa série fica parecida com
, que é uma série geométrica com razão
. Sabemos que séries geométricas com
convergem.
Passo 7
Para ter certeza, vamos aplicar o Teste da Raiz. Calculamos:
Como o limite é menor que 1, pela Teste da Raiz, a série converge.
Resposta
A série
converge.
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Investigue o caráter das seguintes séries: