Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty(nn+1)^n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Estamos falando de séries infinitas, então vamos precisar usar alguns testes de convergência para chegar a uma conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: . Para entender o comportamento da série, é bom analisar como esse termo se comporta quando fica muito grande.

Passo 3

Vamos simplificar nn+1 = 11 + 1n . Dividindo numerador e denominador por , temos:
Quando tende ao infinito, vai para 0, então tende a 1. Mas como esse termo é elevado a , precisamos ver mais de perto.

Passo 4

Vamos reescrever (nn+1)^n^2 = (1 - 1n+1)^n^2 usando propriedades de potências:
Agora, lembra que tende a quando vai para o infinito. Mas aqui temos no expoente, então vamos adaptar isso.

Passo 5

Vamos fazer uma aproximação usando logaritmo:
ln((1 - 1n+1)^n^2) = n^2 cdot ln(1 - 1n+1)
Para n^2 cdot ln(1 - 1n+1) approx n^2 cdot (-1n+1) approx -n pequeno, (nn+1)^n^2 approx e^-n . Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, com essa aproximação, a nossa série fica parecida com , que é uma série geométrica com razão . Sabemos que séries geométricas com convergem.

Passo 7

Para ter certeza, vamos aplicar o Teste da Raiz. Calculamos:
limn to infty raiz[n](nn+1)^n^2 = limn to infty (nn+1)^n = limn to infty (1 - 1n+1)^n = 1e < 1
Como o limite é menor que 1, pela Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

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