Determine o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty x^n3^n(n^2+n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty x^n3^n(n^2+n)
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de . Para descobrir onde essa série converge, ou seja, onde ela soma um valor finito, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas. A ideia é olhar para o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Matematicamente, para a série L = limn to infty | an+1an | , calculamos:

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an = x^n3^n(n^2+n) :
an+1 = x^n+13^n+1((n+1)^2+(n+1)) = x^n+13^n+1(n^2+3n+2)
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos formar a razão an+1an = x^n+13^n+1(n^2+3n+2)x^n3^n(n^2+n) = x^n+1 cdot 3^n cdot (n^2+n)3^n+1 cdot x^n cdot (n^2+3n+2) :
an+1an = x cdot (n^2+n)3 cdot (n^2+3n+2)
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty | x cdot (n^2+n)3 cdot (n^2+3n+2) | tende ao infinito:
L = limn to infty | x cdot (1 + 1n)3 cdot (1 + 3n + 2n^2) |
Dividindo numerador e denominador por L = | x cdot 13 cdot 1 | = | x3 | :
Quando vai para infinito, e tendem a zero, então:

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que | x3 | < 1 :
|x| < 3
Isso implica que:

Passo 7

Então, o intervalo de convergência é onde -3 < x < 3 está dentro dessa desigualdade. Ou seja, a série converge para todos os tais que:

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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