Determine o intervalo de convergência da série de potências
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo potências de . Para descobrir onde essa série converge, ou seja, onde ela soma um valor finito, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas. A ideia é olhar para o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Matematicamente, para a série , calculamos:
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an = x^n3^n(n^2+n) :