Complete os detalhes da dedução das fórmulas de Splines cúbicas naturais apresentadas em sala.
(a) Sejam hi=xi+1-xi e mui=pi^prime prime(x). Dada a fórmula
pi^prime prime(x)=1hi(mui(xi+1-x)+mui+1(x-xi))
por meio de integração sobre pi^prime prime(x), prove que
pi^prime(x)=[-mui(xi+1-x)^22 hi+ci]+[mui+1(x-xi)^22 hi+di]
e
pi(x)=[mui(xi+1-x)^36 hi-ci(xi+1-x)]+[mui+1(x-xi)^36 hi+di(x-xi)]+ei
onde ci, di e e e são constantes de integração.
(b) Tendo em mente o fato que pi(x) é um polinômio interpolador, isto é, yi=pi(xi) e yi+1=pi(xi+1), mostre que
ci=-yihi+mui hi6+eihi
e
di=yi+1hi-mui+1 hi6-eihi
© Fazendo uso dos itens anteriores e o fato que
pi^prime(xi)=pi-1^prime(xi)
deduza o seguinte sistema linear:
hi-1 mui-1+2(hi-1+hi) mui+hi mui+1=6(yi+1-yihi-yi-yi-1hi-1), i=1,2, ldots, n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre Splines cúbicas naturais, que são usadas para interpolar pontos de uma maneira suave usando polinômios de terceiro grau. A gente vai precisar usar integração e condições de interpolação para deduzir algumas fórmulas importantes. Vamos resolver passo a passo os itens (a), (b) e ©.

Passo 2

Item (a): Provar as expressões para pi^prime prime(x) = 1hi ( mui (xi+1 - x) + mui+1 (x - xi) ) e via integração de .
Começamos com a segunda derivada da spline cúbica dada por:
Para encontrar , precisamos integrar em relação a .

Passo 3

Integrando pi'(x) = integral pi''(x) , dx = integral 1hi ( mui (xi+1 - x) + mui+1 (x - xi) ) dx para achar pi'(x) = muihi integral (xi+1 - x) dx + mui+1hi integral (x - xi) dx + C :
pi'(x) = [ -mui (xi+1 - x)^22 hi + ci ] + [ mui+1 (x - xi)^22 hi + di ]
Vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração que vamos dividir em duas partes: e .
Então:

Passo 4

Integrando pi(x) = integral pi'(x) , dx = integral ( [ -mui (xi+1 - x)^22 hi + ci ] + [ mui+1 (x - xi)^22 hi + di ] ) dx + ei para achar pi(x) = mui (xi+1 - x)^36 hi - ci (xi+1 - x) + mui+1 (x - xi)^36 hi + di (x - xi) + ei :
Agora, vamos integrar para obter :
Integrando cada termo:

Passo 5

Item (a) concluído:
Portanto, mostramos que:
pi'(x) = [ -mui (xi+1 - x)^22 hi + ci ] + [ mui+1 (x - xi)^22 hi + di ]
pi(x) = mui (xi+1 - x)^36 hi - ci (xi+1 - x) + mui+1 (x - xi)^36 hi + di (x - xi) + ei

Passo 6

Item (b): Encontrar as constantes de integração yi = pi(xi) e yi+1 = pi(xi+1) usando as condições de interpolação.
Sabemos que yi = mui (xi+1 - xi)^36 hi - ci hi + mui+1 (0)^36 hi + di (0) + ei deve interpolar os pontos yi = mui hi^36 hi - ci hi + ei e yi = mui hi^26 - ci hi + ei . Ou seja:
yi+1 = mui (0)^36 hi - ci (0) + mui+1 hi^36 hi + di hi + ei
yi+1 = mui+1 hi^26 + di hi + ei
Vamos substituir e na expressão de :
Para :
Para :

Passo 7

Resolvendo as equações para yi = mui hi^26 - ci hi + ei (1) e yi+1 = mui+1 hi^26 + di hi + ei (2) :
Temos:
yi+1 - yi = mui+1 hi^26 + di hi - mui hi^26 + ci hi
ci = mui hi^26 + ei - yihi = -yihi + mui hi6 + eihi
Subtraindo (1) de (2):
di = yi+1 - ei - mui+1 hi^26hi = yi+1hi - mui+1 hi6 - eihi
Mas para facilitar, podemos resolver diretamente para e :
Da equação (1):
Da equação (2):

Passo 8

Item (b) concluído:
Portanto, as constantes de integração são:
ci = -yihi + mui hi6 + eihi
di = yi+1hi - mui+1 hi6 - eihi

Passo 9

Item ©: Deduzir o sistema linear usando a condição de continuidade das derivadas.
Sabemos que as derivadas primeiras das splines adjacentes devem coincidir no ponto de junção pi'(xi) = pi-1'(xi) :
[ -mui (xi+1 - xi)^22 hi + ci ] + [ mui+1 (xi - xi)^22 hi + di ] = [ -mui-1 (xi - xi-1)^22 hi-1 + ci-1 ] + [ mui (xi - xi)^22 hi-1 + di-1 ]
Usando a expressão de -mui hi^22 hi + ci + di = -mui-1 hi-1^22 hi-1 + ci-1 + di-1 :
-mui hi2 + ci + di = -mui-1 hi-12 + ci-1 + di-1
Simplificando e :
Com as expressões de e obtidas no item (b), substituímos e rearranjamos para formar o sistema linear.

Passo 10

Construindo o sistema linear final:
Ao reorganizar as expressões e considerar todas as influências de hi-1 mui-1 + 2 (hi-1 + hi) mui + hi mui+1 = 6 ( yi+1 - yihi - yi - yi-1hi-1 ), i = 1, 2, ldots, n-1 , e , chegamos ao sistema linear:

Resposta

Seguindo todos os passos, deduzimos que o sistema linear para os coeficientes das Splines cúbicas naturais é:
hi-1 mui-1 + 2 (hi-1 + hi) mui + hi mui+1 = 6 ( yi+1 - yihi - yi - yi-1hi-1 ), i = 1, 2, ldots, n-1

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