Complete os detalhes da dedução das fórmulas de Splines cúbicas naturais apresentadas em sala.
(a) Sejam
e
. Dada a fórmula
por meio de integração sobre
, prove que
onde
e e e são constantes de integração.
(b) Tendo em mente o fato que
é um polinômio interpolador, isto é,
e
, mostre que
© Fazendo uso dos itens anteriores e o fato que
deduza o seguinte sistema linear:
(a) Sejam
(b) Tendo em mente o fato que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre Splines cúbicas naturais, que são usadas para interpolar pontos de uma maneira suave usando polinômios de terceiro grau. A gente vai precisar usar integração e condições de interpolação para deduzir algumas fórmulas importantes. Vamos resolver passo a passo os itens (a), (b) e ©.
Passo 2
Item (a): Provar as expressões para
e
via integração de
.
Começamos com a segunda derivada da spline cúbica dada por:
Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
.
Passo 3
Integrando
para achar
:
Vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração que vamos dividir em duas partes:
e
.
Então:
Passo 4
Integrando
para achar
:
Agora, vamos integrar
para obter
:
Integrando cada termo:
Passo 5
Item (a) concluído:
Portanto, mostramos que:
Passo 6
Item (b): Encontrar as constantes de integração
e
usando as condições de interpolação.
Sabemos que
deve interpolar os pontos
e
. Ou seja:
Vamos substituir
e
na expressão de
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Resolvendo as equações para
e
:
Temos:
Subtraindo (1) de (2):
Mas para facilitar, podemos resolver diretamente para
e
:
Da equação (1):
Da equação (2):
Passo 8
Item (b) concluído:
Portanto, as constantes de integração são:
Passo 9
Item ©: Deduzir o sistema linear usando a condição de continuidade das derivadas.
Sabemos que as derivadas primeiras das splines adjacentes devem coincidir no ponto de junção
:
Usando a expressão de
:
Simplificando
e
:
Com as expressões de
e
obtidas no item (b), substituímos e rearranjamos para formar o sistema linear.
Passo 10
Construindo o sistema linear final:
Ao reorganizar as expressões e considerar todas as influências de
,
e
, chegamos ao sistema linear:
Resposta
Seguindo todos os passos, deduzimos que o sistema linear para os coeficientes das Splines cúbicas naturais é: