Complete os detalhes da dedução das fórmulas de Splines cúbicas naturais apresentadas em sala.
(a) Sejam e . Dada a fórmula
por meio de integração sobre , prove que
onde e e e são constantes de integração.
(b) Tendo em mente o fato que é um polinômio interpolador, isto é, e , mostre que
© Fazendo uso dos itens anteriores e o fato que
deduza o seguinte sistema linear:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre Splines cúbicas naturais, que são usadas para interpolar pontos de uma maneira suave usando polinômios de terceiro grau. A gente vai precisar usar integração e condições de interpolação para deduzir algumas fórmulas importantes. Vamos resolver passo a passo os itens (a), (b) e ©.

Passo 2

Item (a): Provar as expressões para e via integração de .
Começamos com a segunda derivada da spline cúbica dada por:
Para encontrar , precisamos integrar em relação a .

Passo 3

Integrando para achar :
Vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração que vamos dividir em duas partes: e .
Então:

Passo 4

Integrando para achar :
Agora, vamos integrar para obter :
Integrando cada termo:

Passo 5

Item (a) concluído:
Portanto, mostramos que:

Passo 6

Item (b): Encontrar as constantes de integração e usando as condições de interpolação.
Sabemos que deve interpolar os pontos e . Ou seja:
Vamos substituir e na expressão de :
Para :
Para :

Passo 7

Resolvendo as equações para e :
Temos:
Subtraindo (1) de (2):
Mas para facilitar, podemos resolver diretamente para e :
Da equação (1):
Da equação (2):

Passo 8

Item (b) concluído:
Portanto, as constantes de integração são:

Passo 9

Item ©: Deduzir o sistema linear usando a condição de continuidade das derivadas.
Sabemos que as derivadas primeiras das splines adjacentes devem coincidir no ponto de junção :
Usando a expressão de :
Simplificando e :
Com as expressões de e obtidas no item (b), substituímos e rearranjamos para formar o sistema linear.

Passo 10

Construindo o sistema linear final:
Ao reorganizar as expressões e considerar todas as influências de , e , chegamos ao sistema linear:

Resposta

Seguindo todos os passos, deduzimos que o sistema linear para os coeficientes das Splines cúbicas naturais é:

Exercícios relacionados

A função representa uma spline cúbica natural descreve a quantidade de um nutriente na corrente sanguínea na primeira hora após a administração de um complexo vitamínico entre a segunda e a quinta hora :
Calcule os valores de a e b para os quais a spline natural se aproxime de uma função nos pontos e 5 .
Sugestão: basta usar os conceitos de spline natural, a saber:
  • A spline cúbica é contínua até a derivada de ordem 2: ;
    Obtendo estas relações, encontram-se os valores de e .
(Ajuste Exponencial) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função com a e b positivos. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
Definindo-se:
temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
Após bela explanação, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
-1 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial .
Sejam . Mostre que existe um polinômio de grau tal que e se, e somente se, .