A função p(x) representa uma spline cúbica natural descreve a quantidade de um nutriente na corrente sanguínea na primeira hora (0 após a administração de um complexo vitamínico entre a segunda e a quinta hora (1 :
p(t)= p1(t)=a t^3+2,9 t+1, & 0
Calcule os valores de a e b para os quais a spline natural se aproxime de uma função nos pontos t=0,1 e 5 .
Sugestão: basta usar os conceitos de spline natural, a saber:
  • mu0=p0^prime prime(0)=0, mu2=p2^prime prime(5)=0 ;
  • A spline cúbica é contínua até a derivada de ordem 2: p0(1)=p1(1) ; p0^prime(1)=p1^prime(1) ; p0^prime prime(1)=p1^prime prime(1);
    Obtendo estas relações, encontram-se os valores de a e b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma spline cúbica natural, que é basicamente uma função composta por pedaços de polinômios cúbicos que se encaixam suavemente. A gente precisa encontrar os valores das constantes e nas funções e para garantir que a spline seja “natural”. Isso significa que ela deve ser contínua até a segunda derivada e ter as segunda derivadas iguais a zero nos extremos e . Vamos precisar usar conceitos de derivadas e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a spline é contínua em p1(1) = a(1)^3 + 2.9(1) + 1 = a + 2.9 + 1 = a + 3.9 . Isso significa que o valor da função p2(1) = -0.025(1)^3 + b(1)^2 + 2.525(1) + 1.125 = -0.025 + b + 2.525 + 1.125 = b + 3.625 quando a + 3.9 = b + 3.625 implies a = b - 0.275 deve ser igual ao valor de quando .
Calculando :
Calculando :
Como :

Passo 3

Agora, vamos igualar as primeiras derivadas de p1'(t) = 3a t^2 + 2.9 implies p1'(1) = 3a(1)^2 + 2.9 = 3a + 2.9 e p2'(t) = -0.075 t^2 + 2b t + 2.525 implies p2'(1) = -0.075(1)^2 + 2b(1) + 2.525 = -0.075 + 2b + 2.525 = 2b + 2.45 em 3a + 2.9 = 2b + 2.45 para garantir que a inclinação da curva também seja contínua.
Primeira derivada de 3(b - 0.275) + 2.9 = 2b + 2.45 implies 3b - 0.825 + 2.9 = 2b + 2.45 implies 3b + 2.075 = 2b + 2.45 implies b = 0.375 :
Primeira derivada de :
Igualando as derivadas:
Substituindo :

Passo 4

Agora que sabemos que a = 0.375 - 0.275 = 0.1 , podemos usar a relação para encontrar :

Passo 5

Vamos checar as condições de naturalidade, que exigem que as segunda derivadas sejam zero nos extremos p1''(t) = 6a t implies p1''(0) = 6a(0) = 0 e p2''(t) = -0.15 t + 2b implies p2''(5) = -0.15(5) + 2(0.375) = -0.75 + 0.75 = 0 .
Segunda derivada de :
Isso satisfaz .
Segunda derivada de :
Isso satisfaz .

Passo 6

Com todas as condições satisfeitas e os valores encontrados, concluímos que:

Resposta

Os valores são e .

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