A função
representa uma spline cúbica natural descreve a quantidade de um nutriente na corrente sanguínea na primeira hora
após a administração de um complexo vitamínico entre a segunda e a quinta hora
:
Calcule os valores de a e b para os quais a spline natural se aproxime de uma função nos pontos
e 5 .
Sugestão: basta usar os conceitos de spline natural, a saber:
-
- A spline cúbica é contínua até a derivada de ordem 2:
;
Obtendo estas relações, encontram-se os valores de
e
.
Sugestão: basta usar os conceitos de spline natural, a saber:
Obtendo estas relações, encontram-se os valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma spline cúbica natural, que é basicamente uma função composta por pedaços de polinômios cúbicos que se encaixam suavemente. A gente precisa encontrar os valores das constantes
e
nas funções
e
para garantir que a spline seja “natural”. Isso significa que ela deve ser contínua até a segunda derivada e ter as segunda derivadas iguais a zero nos extremos
e
. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a spline é contínua em
. Isso significa que o valor da função
quando
deve ser igual ao valor de
quando
.
Calculando
:
Calculando
:
Como
:
Passo 3
Agora, vamos igualar as primeiras derivadas de
e
em
para garantir que a inclinação da curva também seja contínua.
Primeira derivada de
:
Primeira derivada de
:
Igualando as derivadas:
Substituindo
:
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos usar a relação
para encontrar
:
Passo 5
Vamos checar as condições de naturalidade, que exigem que as segunda derivadas sejam zero nos extremos
e
.
Segunda derivada de
:
Isso satisfaz
.
Segunda derivada de
:
Isso satisfaz
.
Passo 6
Com todas as condições satisfeitas e os valores encontrados, concluímos que:
Resposta
Os valores são
e
.
Exercícios relacionados
Dada a tabela
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0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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-1 |
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5 |
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7 |
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13 |
calcule
e
, sabendo-se que ela corresponde a um polinômio de grau 3.
Complete os detalhes da dedução das fórmulas de Splines cúbicas naturais apresentadas em sala.
(a) Sejam e
. Dada a fórmula
(a) Sejam
por meio de integração sobre
, prove que
onde
e e e são constantes de integração.
(b) Tendo em mente o fato que é um polinômio interpolador, isto é,
e
, mostre que
(b) Tendo em mente o fato que
© Fazendo uso dos itens anteriores e o fato que
deduza o seguinte sistema linear:
(Ajuste Exponencial) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função
com a e b positivos. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
Definindo-se:
temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
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Após bela explanação, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
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-1 |
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0 | 1 | 2 |
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6,01 | 5,39 | 4,80 | 2,01 | 0,65 | 0,21 |
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial
.