A função representa uma spline cúbica natural descreve a quantidade de um nutriente na corrente sanguínea na primeira hora após a administração de um complexo vitamínico entre a segunda e a quinta hora :
Calcule os valores de a e b para os quais a spline natural se aproxime de uma função nos pontos e 5 .
Sugestão: basta usar os conceitos de spline natural, a saber:
  • A spline cúbica é contínua até a derivada de ordem 2: ;
    Obtendo estas relações, encontram-se os valores de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma spline cúbica natural, que é basicamente uma função composta por pedaços de polinômios cúbicos que se encaixam suavemente. A gente precisa encontrar os valores das constantes e nas funções e para garantir que a spline seja “natural”. Isso significa que ela deve ser contínua até a segunda derivada e ter as segunda derivadas iguais a zero nos extremos e . Vamos precisar usar conceitos de derivadas e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a spline é contínua em . Isso significa que o valor da função quando deve ser igual ao valor de quando .
Calculando :
Calculando :
Como :

Passo 3

Agora, vamos igualar as primeiras derivadas de e em para garantir que a inclinação da curva também seja contínua.
Primeira derivada de :
Primeira derivada de :
Igualando as derivadas:
Substituindo :

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos usar a relação para encontrar :

Passo 5

Vamos checar as condições de naturalidade, que exigem que as segunda derivadas sejam zero nos extremos e .
Segunda derivada de :
Isso satisfaz .
Segunda derivada de :
Isso satisfaz .

Passo 6

Com todas as condições satisfeitas e os valores encontrados, concluímos que:

Resposta

Os valores são e .

Exercícios relacionados

Dada a tabela
0 1 2 3 4 5 6
-1 5 7 13
calcule e , sabendo-se que ela corresponde a um polinômio de grau 3.
Complete os detalhes da dedução das fórmulas de Splines cúbicas naturais apresentadas em sala.
(a) Sejam e . Dada a fórmula
por meio de integração sobre , prove que
onde e e e são constantes de integração.
(b) Tendo em mente o fato que é um polinômio interpolador, isto é, e , mostre que
© Fazendo uso dos itens anteriores e o fato que
deduza o seguinte sistema linear:
(Ajuste Exponencial) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função com a e b positivos. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
Definindo-se:
temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
Após bela explanação, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
-1 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial .