(Ajuste Exponencial) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função g(x)=a b^x com a e b positivos. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
h(x) & =ln (g(x)) & =ln (a cdot b^x) & =ln a+ln b^x & =ln a+x ln b
Definindo-se:
& a1=ln a e^a1=a & a2=ln b e^a2=b
temos que
h(x)=a1+a2 x
Assim,
g(x) & approx f(x) ln (g(x)) & approx ln (f(x))
Desta forma, temos a seguinte tabela:
x x1 x2 x3 ldots xm
ln (f(x)) ln (f(x1)) ln (f(x2)) ln (f(x3)) ldots ln (f(xm))
Após bela explanação, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
x -1 -0,9 -0,8 0 1 2
f(x) 6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial g(x)=a b^x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para ajustar os pontos dados a uma função exponencial da forma . Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor curva que se encaixa nos dados fornecidos. Precisamos transformar a função exponencial para facilitar a aplicação desse método. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função exponencial usando o logaritmo natural para torná-la linear. Isso facilita bastante a aplicação dos mínimos quadrados. A transformação fica assim:
ln(g(x)) = ln(a cdot b^x) = ln(a) + x cdot ln(b)
Vamos definir:
a1 = ln(a) e a2 = ln(b)
Então, nossa equação transformada fica:
h(x) = a1 + a2 cdot x

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar os valores de ln(f(x)) e . Para isso, precisamos calcular algumas somas com base nos nossos dados transformados.
Primeiro, transformamos os valores de usando o logaritmo natural:
Vamos montar uma tabela com esses valores:
-1 -0,9 -0,8 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
? ? ? ? ? ?
Vamos calcular esses logaritmos agora.

Passo 4

Calculando ln(6,01) &approx 1,794 ln(5,39) &approx 1,682 ln(4,80) &approx 1,569 ln(2,01) &approx 0,698 ln(0,65) &approx -0,430 ln(0,21) &approx -1,560 para cada ponto:
Atualizando a tabela:
-1 -0,9 -0,8 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
1,794 1,682 1,569 0,698 -0,430 -1,560

Passo 5

Agora, precisamos calcular algumas somas necessárias para os mínimos quadrados:
S &= sum1 = 6 (número de pontos) sumx &= (-1) + (-0,9) + (-0,8) + 0 + 1 + 2 = 0,3 sumy &= 1,794 + 1,682 + 1,569 + 0,698 + (-0,430) + (-1,560) approx 3,253 sumx^2 &= (-1)^2 + (-0,9)^2 + (-0,8)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 1 + 0,81 + 0,64 + 0 + 1 + 4 = 7,45 sumxy &= (-1)(1,794) + (-0,9)(1,682) + (-0,8)(1,569) + 0(0,698) + 1(-0,430) + 2(-1,560) &approx -1,794 - 1,514 - 1,255 + 0 - 0,430 - 3,120 &approx -7,113 ú

Passo 6

Com essas somas, podemos montar as equações dos mínimos quadrados:
S cdot a1 + (sumx) cdot a2 = sumy (sumx) cdot a1 + (sumx^2) cdot a2 = sumxy
Substituindo os valores:
6 cdot a1 + 0,3 cdot a2 = 3,253 0,3 cdot a1 + 7,45 cdot a2 = -7,113
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
6a1 + 0,3a2 = 3,253 Rightarrow 6a1 = 3,253 - 0,3a2 Rightarrow a1 = 3,253 - 0,3a26 approx 0,5422 - 0,05a2
Substituindo 0,3(0,5422 - 0,05a2) + 7,45a2 = -7,113 0,1627 - 0,015a2 + 7,45a2 = -7,113 7,435a2 = -7,113 - 0,1627 7,435a2 approx -7,2757 a2 approx -7,27577,435 approx -0,9789 na segunda equação:
a1 approx 0,5422 - 0,05(-0,9789) approx 0,5422 + 0,0489 approx 0,5911
Agora, encontramos :

Passo 7

Agora que temos a &= e^a1 approx e^0,5911 approx 1,805 b &= e^a2 approx e^-0,9789 approx 0,376 e , vamos encontrar e :

Resposta

A função exponencial ajustada aos pontos da tabela é aproximadamente:
g(x) approx 1,805 cdot (0,376)^x

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