(Ajuste Exponencial) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função com a e b positivos. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
Definindo-se:
temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
Após bela explanação, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
-1 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para ajustar os pontos dados a uma função exponencial da forma . Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor curva que se encaixa nos dados fornecidos. Precisamos transformar a função exponencial para facilitar a aplicação desse método. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função exponencial usando o logaritmo natural para torná-la linear. Isso facilita bastante a aplicação dos mínimos quadrados. A transformação fica assim:
Vamos definir:
Então, nossa equação transformada fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar os valores de e . Para isso, precisamos calcular algumas somas com base nos nossos dados transformados.
Primeiro, transformamos os valores de usando o logaritmo natural:
Vamos montar uma tabela com esses valores:
-1 -0,9 -0,8 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
? ? ? ? ? ?
Vamos calcular esses logaritmos agora.

Passo 4

Calculando para cada ponto:
Atualizando a tabela:
-1 -0,9 -0,8 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
1,794 1,682 1,569 0,698 -0,430 -1,560

Passo 5

Agora, precisamos calcular algumas somas necessárias para os mínimos quadrados:
ú

Passo 6

Com essas somas, podemos montar as equações dos mínimos quadrados:
Substituindo os valores:
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, encontramos :

Passo 7

Agora que temos e , vamos encontrar e :

Resposta

A função exponencial ajustada aos pontos da tabela é aproximadamente:

Exercícios relacionados

Complete os detalhes da dedução das fórmulas de Splines cúbicas naturais apresentadas em sala.
(a) Sejam e . Dada a fórmula
por meio de integração sobre , prove que
onde e e e são constantes de integração.
(b) Tendo em mente o fato que é um polinômio interpolador, isto é, e , mostre que
© Fazendo uso dos itens anteriores e o fato que
deduza o seguinte sistema linear:
A função representa uma spline cúbica natural descreve a quantidade de um nutriente na corrente sanguínea na primeira hora após a administração de um complexo vitamínico entre a segunda e a quinta hora :
Calcule os valores de a e b para os quais a spline natural se aproxime de uma função nos pontos e 5 .
Sugestão: basta usar os conceitos de spline natural, a saber:
  • A spline cúbica é contínua até a derivada de ordem 2: ;
    Obtendo estas relações, encontram-se os valores de e .
Sejam . Mostre que existe um polinômio de grau tal que e se, e somente se, .
Prove que
onde é qualquer permutação dos inteiros positivos .