(Ajuste Exponencial) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função
com a e b positivos. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
Definindo-se:
temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
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---|---|---|---|---|---|
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Após bela explanação, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
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-1 |
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0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|---|
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6,01 | 5,39 | 4,80 | 2,01 | 0,65 | 0,21 |
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para ajustar os pontos dados a uma função exponencial da forma
. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor curva que se encaixa nos dados fornecidos. Precisamos transformar a função exponencial para facilitar a aplicação desse método. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a função exponencial usando o logaritmo natural para torná-la linear. Isso facilita bastante a aplicação dos mínimos quadrados. A transformação fica assim:
Vamos definir:
Então, nossa equação transformada fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar os valores de
e
. Para isso, precisamos calcular algumas somas com base nos nossos dados transformados.
Primeiro, transformamos os valores de
usando o logaritmo natural:
Vamos montar uma tabela com esses valores:
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-1 | -0,9 | -0,8 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|---|
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6,01 | 5,39 | 4,80 | 2,01 | 0,65 | 0,21 |
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? | ? | ? | ? | ? | ? |
Vamos calcular esses logaritmos agora.
Passo 4
Calculando
para cada ponto:
Atualizando a tabela:
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-1 | -0,9 | -0,8 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|---|
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6,01 | 5,39 | 4,80 | 2,01 | 0,65 | 0,21 |
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1,794 | 1,682 | 1,569 | 0,698 | -0,430 | -1,560 |
Passo 5
Agora, precisamos calcular algumas somas necessárias para os mínimos quadrados:
Passo 6
Com essas somas, podemos montar as equações dos mínimos quadrados:
Substituindo os valores:
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, encontramos
:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos encontrar
e
:
Resposta
A função exponencial ajustada aos pontos da tabela é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Complete os detalhes da dedução das fórmulas de Splines cúbicas naturais apresentadas em sala.
(a) Sejam e
. Dada a fórmula
(a) Sejam
por meio de integração sobre
, prove que
onde
e e e são constantes de integração.
(b) Tendo em mente o fato que é um polinômio interpolador, isto é,
e
, mostre que
(b) Tendo em mente o fato que
© Fazendo uso dos itens anteriores e o fato que
deduza o seguinte sistema linear:
A função
representa uma spline cúbica natural descreve a quantidade de um nutriente na corrente sanguínea na primeira hora
após a administração de um complexo vitamínico entre a segunda e a quinta hora
:
Calcule os valores de a e b para os quais a spline natural se aproxime de uma função nos pontos
e 5 .
Sugestão: basta usar os conceitos de spline natural, a saber:
Sugestão: basta usar os conceitos de spline natural, a saber:
-
- A spline cúbica é contínua até a derivada de ordem 2:
;
Obtendo estas relações, encontram-se os valores dee .
Sejam
. Mostre que existe um polinômio de grau
tal que
e
se, e somente se,
.
Prove que
onde
é qualquer permutação dos inteiros positivos
.