Sejam . Mostre que existe um polinômio de grau tal que e se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo polinômios. Especificamente, queremos provar que existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa por quatro pontos definidos por , , e . Mas tem uma condição: isso só é possível se . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de polinômios e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Como queremos que o polinômio passe pelos pontos dados, vamos substituir cada valor de e igualar a aos respectivos valores:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações:
Mas já sabemos que . Vamos substituir por nas outras equações:
  1. \Rightarrow
  2. \Rightarrow
  3. \Rightarrow

Passo 5

Agora, temos um sistema reduzido com três equações:
Vamos resolver as duas primeiras equações para e .
Somando as duas primeiras equações:
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 6

Agora que temos e em termos de , e , vamos substituir esses valores na terceira equação para verificar a condição necessária:
Substituindo e :
Simplificando:

Resposta

Portanto, existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa pelos pontos , , e se e somente se .

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(Ajuste Exponencial) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função com a e b positivos. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
Definindo-se:
temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
Após bela explanação, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
-1 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial .
Complete os detalhes da dedução das fórmulas de Splines cúbicas naturais apresentadas em sala.
(a) Sejam e . Dada a fórmula
por meio de integração sobre , prove que
onde e e e são constantes de integração.
(b) Tendo em mente o fato que é um polinômio interpolador, isto é, e , mostre que
© Fazendo uso dos itens anteriores e o fato que
deduza o seguinte sistema linear:
Prove que
onde é qualquer permutação dos inteiros positivos .
Determine a constante de Lipchitz para as seguintes funções .