Sejam . Mostre que existe um polinômio de grau tal que e se, e somente se, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo polinômios. Especificamente, queremos provar que existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa por quatro pontos definidos por , , e . Mas tem uma condição: isso só é possível se . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de polinômios e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Como queremos que o polinômio passe pelos pontos dados, vamos substituir cada valor de e igualar a aos respectivos valores:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, temos um sistema de quatro equações:
Mas já sabemos que . Vamos substituir por nas outras equações:
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow
Passo 5
Agora, temos um sistema reduzido com três equações:
Vamos resolver as duas primeiras equações para e .
Somando as duas primeiras equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 6
Agora que temos e em termos de , e , vamos substituir esses valores na terceira equação para verificar a condição necessária:
Substituindo e :
Simplificando:
Resposta
Portanto, existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa pelos pontos , , e se e somente se.