Sejam a, b, c, d in R. Mostre que existe um polinômio de grau <= 2 tal que P(-1)=a, P(0)=b, P(1)=c e P(3)=d se, e somente se, 3 a-8 b+6 c-d=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo polinômios. Especificamente, queremos provar que existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa por quatro pontos definidos por , , e . Mas tem uma condição: isso só é possível se . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de polinômios e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
P(x) = alpha x^2 + beta x + gamma
Aqui, , e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Como queremos que o polinômio passe pelos pontos dados, vamos substituir cada valor de P(-1) = alpha (-1)^2 + beta (-1) + gamma = a Rightarrow alpha - beta + gamma = a e igualar a P(0) = alpha (0)^2 + beta (0) + gamma = b Rightarrow gamma = b aos respectivos valores:
  1. Para P(1) = alpha (1)^2 + beta (1) + gamma = c Rightarrow alpha + beta + gamma = c :
P(3) = alpha (3)^2 + beta (3) + gamma = d Rightarrow 9alpha + 3beta + gamma = d
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, temos um sistema de quatro equações:
alpha - beta + gamma = a gamma = b alpha + beta + gamma = c 9alpha + 3beta + gamma = d
Mas já sabemos que . Vamos substituir por nas outras equações:
  1. \Rightarrow
  2. \Rightarrow
  3. \Rightarrow

Passo 5

Agora, temos um sistema reduzido com três equações:
alpha - beta = a - b alpha + beta = c - b 9alpha + 3beta = d - b
Vamos resolver as duas primeiras equações para (alpha - beta) + (alpha + beta) = (a - b) + (c - b) Rightarrow 2alpha = a + c - 2b Rightarrow alpha = a + c - 2b2 e (alpha + beta) - (alpha - beta) = (c - b) - (a - b) Rightarrow 2beta = c - a Rightarrow beta = c - a2 .
Somando as duas primeiras equações:
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 6

Agora que temos 9alpha + 3beta = d - b e 9(a + c - 2b2) + 3(c - a2) = d - b em termos de 9(a + c - 2b)2 + 3(c - a)2 = d - b , 9a + 9c - 18b + 3c - 3a2 = d - b e 6a + 12c - 18b2 = d - b , vamos substituir esses valores na terceira equação para verificar a condição necessária:
3a + 6c - 9b = d - b
Substituindo 3a - 8b + 6c - d = 0 e :
Simplificando:

Resposta

Portanto, existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa pelos pontos , , e se e somente se .

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