Sejam . Mostre que existe um polinômio de grau tal que e se, e somente se, .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo polinômios. Especificamente, queremos provar que existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa por quatro pontos definidos por , , e . Mas tem uma condição: isso só é possível se . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra de polinômios e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Aqui, , e são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Como queremos que o polinômio passe pelos pontos dados, vamos substituir cada valor de e igualar a aos respectivos valores:
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, temos um sistema de quatro equações:
Mas já sabemos que . Vamos substituir por nas outras equações:
\Rightarrow
\Rightarrow
\Rightarrow
Passo 5
Agora, temos um sistema reduzido com três equações:
alpha - beta = a - b alpha + beta = c - b 9alpha + 3beta = d - b
Vamos resolver as duas primeiras equações para (alpha - beta) + (alpha + beta) = (a - b) + (c - b) Rightarrow 2alpha = a + c - 2b Rightarrow alpha = a + c - 2b2 e (alpha + beta) - (alpha - beta) = (c - b) - (a - b) Rightarrow 2beta = c - a Rightarrow beta = c - a2 .
Somando as duas primeiras equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 6
Agora que temos 9alpha + 3beta = d - b e 9(a + c - 2b2) + 3(c - a2) = d - b em termos de 9(a + c - 2b)2 + 3(c - a)2 = d - b , 9a + 9c - 18b + 3c - 3a2 = d - b e 6a + 12c - 18b2 = d - b , vamos substituir esses valores na terceira equação para verificar a condição necessária:
3a + 6c - 9b = d - b
Substituindo 3a - 8b + 6c - d = 0 e :
Simplificando:
Resposta
Portanto, existe um polinômio de grau no máximo 2 que passa pelos pontos , , e se e somente se.