Complete a terceira linha da matriz A com o seu RA (5 últimos dígitos) e calcule o determinante de A por escalonamento transformando em matriz triangular (use as propriedades de determinante).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para completar a terceira linha da matriz com os 5 últimos dígitos do seu RA (Registro Acadêmico) e, em seguida, calcular o determinante dessa matriz usando o método de escalonamento para transformá-la em uma matriz triangular. Vamos precisar entender como construir a matriz, aplicar operações de linha e usar as propriedades do determinante para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos completar a terceira linha da matriz A = -2 & 0 & 1 & -3 & 0 6 & -2 & 2 & 4 & 2 r1 & r2 & r3 & r4 & r5 1 & -4 & 3 & -1 & 0 com os 5 últimos dígitos do seu RA. Suponha que os 5 últimos dígitos do seu RA sejam . Então, a matriz ficará assim:
Passo 3
Agora, para calcular o determinante de , precisamos reduzir a matriz para uma forma triangular (superior ou inferior) usando operações de escalonamento. As operações de linha que podemos usar são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Lembrando que trocar duas linhas inverte o sinal do determinante, multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar, e adicionar múltiplos de uma linha não altera o determinante.
Passo 4
Vamos começar pela primeira coluna. Nosso objetivo é ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna.
O primeiro elemento da primeira coluna já é L2 = L2 - (-3) times L1 = L2 + 3L1 , ótimo.
Vamos eliminar o 6 + 3(-2) &= 6 - 6 = 0 -2 + 3(0) &= -2 + 0 = -2 2 + 3(1) &= 2 + 3 = 5 4 + 3(-3) &= 4 - 9 = -5 2 + 3(0) &= 2 + 0 = 2 da segunda linha. Para isso, podemos substituir a segunda linha pela segunda linha menos A = -2 & 0 & 1 & -3 & 0 0 & -2 & 5 & -5 & 2 r1 & r2 & r3 & r4 & r5 1 & -4 & 3 & -1 & 0 vezes a primeira linha:
Calculando:
A matriz agora fica:
Passo 5
Ainda na primeira coluna, vamos eliminar o L4 = L4 - (1-2) times L1 = L4 + 12L1 da quarta linha. Para isso, substituímos a quarta linha pela quarta linha menos 1 + 12(-2) &= 1 - 1 = 0 -4 + 12(0) &= -4 + 0 = -4 3 + 12(1) &= 3 + 0.5 = 3.5 -1 + 12(-3) &= -1 - 1.5 = -2.5 0 + 12(0) &= 0 + 0 = 0 vezes a primeira linha:
Agora vamos para a segunda coluna. Queremos ter zeros abaixo do elemento L4 = L4 - 2 times L2 na segunda linha.
O segundo elemento da segunda linha já é 0 - 2(0) &= 0 -4 - 2(-2) &= -4 + 4 = 0 3.5 - 2(5) &= 3.5 - 10 = -6.5 -2.5 - 2(-5) &= -2.5 + 10 = 7.5 0 - 2(2) &= 0 - 4 = -4 , ótimo.
Vamos eliminar o A = -2 & 0 & 1 & -3 & 0 0 & -2 & 5 & -5 & 2 r1 & r2 & r3 & r4 & r5 0 & 0 & -6.5 & 7.5 & -4 da quarta linha. Para isso, substituímos a quarta linha pela quarta linha menos vezes a segunda linha:
Calculando:
A matriz agora fica:
Passo 7
Agora, vamos para a terceira coluna. Nosso objetivo é ter zeros abaixo do elemento na quarta linha.
Como já não há mais linhas abaixo da quarta linha, já alcançamos a forma triangular superior.
Passo 8
Com a matriz escalonada, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelas operações de linha realizadas:
det(A) = (-2) times (-2) times (-6.5) times (e<=mentos restantes)
No entanto, como realizamos operações de linha que envolveram multiplicação e adição, precisamos considerar os fatores multiplicativos aplicados. Neste caso, apenas operações de adição foram usadas, que não alteram o determinante.