Qual matriz tem inversa? Justifique e encontre a sua inversa.
& A=(cccc 5 & -4 & 10 & -1 3 & 9 & 6 & 6 1 & 5 & 2 & -3 2 & 3 & 4 & 2 ) B=(cccc 3 & -2 & 9 & 6 2 & 9 & -1 & 8 6 & 7 & 4 & 0 6 & 7 & 4 & 0 ) C=(ccc 8 & 0 & 0 1 & 4 & 0 0 -2 & 1 & 3 0 3 & 2 & 1 5 ) & D=(cccc 3 & 0 & 2 & 4 2 & 0 & 6 & 8 -1 & 0 & -3 & 6 4 & 0 & 1 & 5 ) E=(cccc 2 & 9 & -3 & 4 0 & 5 & -2 & 2 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 7 ) F=(cccc -4 & 5 & 0 & 2 3 & -1 & 2 & 5 4 & -5 & 0 & -2 0 & 8 & 3 & -5 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de qual das matrizes tem inversa. Para isso, precisamos lembrar que uma matriz só tem inversa se ela for quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e se seu determinante for diferente de zero. Vamos verificar cada matriz e, se ela tiver inversa, vamos encontrá-la!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz . Ela é uma matriz , ou seja, quadrada. Agora precisamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, tem inversa.

Passo 3

Calculando o determinante de det(A) = 5 times det(ccc 9 & 6 & 6 5 & 2 & -3 3 & 4 & 2 ) - (-4) times det(ccc 3 & 6 & 6 1 & 2 & -3 2 & 4 & 2 ) + dots :
Esse cálculo é bem longo, mas após fazê-lo descobrimos que . Portanto, tem inversa.

Passo 4

Vamos agora para a matriz det(B) = 0 . Ela também é . Calculando o determinante de , observamos que ele é igual a zero:
Quando o determinante é zero, a matriz não tem inversa. Então, não tem inversa.

Passo 5

A matriz não está bem definida no enunciado, mas parece que ela não é quadrada. Matrizes não quadradas não possuem inversa, então podemos dizer que não tem inversa.

Passo 6

Vamos para a matriz det(D) = 0 , que é . Calculando seu determinante, descobrimos que:
Assim, também não tem inversa.

Passo 7

Agora, a matriz det(E) = 2 times det(ccc 5 & -2 & 2 0 & 0 & 3 0 & 0 & 7 ) = 2 times (5 times (0 times 7 - 0 times 3)) = 0 . Ela é quadrada . Calculando seu determinante:
Como o determinante é zero, não tem inversa.

Passo 8

Por último, a matriz det(F) neq 0 é F^-1 = 1det(F) times adj(F) . Calculando seu determinante, vemos que:
Então, tem inversa. Agora, para encontrar a inversa de , usamos a fórmula da matriz inversa:
Depois de calcular a adjunta de e dividir pelo determinante, obtemos .

Resposta

A única matriz que tem inversa é a matriz . Sua inversa foi encontrada calculando o determinante e aplicando a fórmula da matriz inversa.

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