Dado o sistema ca x+b z=2 a x+a y+4 z=4 a y+2 z=b.
Responda cada item: Para quais valores de a e o sistema tem Uma solução a dois parâmetros (depende de duas variáveis)

Passo 1

Então, galera! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas:
a x + b z = 2 a x + a y + 4 z = 4 a y + 2 z = b
Vamos resolver usando álgebra linear para descobrir para quais valores de o sistema tem uma solução que depende de dois parâmetros, ou seja, que tem infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de forma que a gente consiga eliminar uma das variáveis. Olhando para a primeira e a segunda equação, vemos que ambas têm o termo (a x + a y + 4 z) - (a x + b z) = 4 - 2 . Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar a y + (4 - b) z = 2 :
a x + b z = 2 a y + (4 - b) z = 2 a y + 2 z = b
Simplificando, temos:
Agora o sistema fica:

Passo 3

Agora, vamos focar nas equações resultantes do passo anterior:
a y + (4 - b) z = 2 a y + 2 z = b
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (a y + (4 - b) z) - (a y + 2 z) = 2 - b :
(4 - b - 2) z = 2 - b Rightarrow (2 - b) z = 2 - b
Isso simplifica para:
Aqui, temos duas possibilidades:
  1. Se , então .
  2. Se , ou seja, , precisamos analisar mais a fundo.

Passo 4

Vamos analisar o caso onde (2 - 2) z = 2 - 2 Rightarrow 0 cdot z = 0 . Substituindo a x + 2 z = 2 a y + 2 z = 2 a y + 2 z = 2 por 2 nas equações:
Isso significa que a equação se torna , que é sempre verdadeira. Então, voltando às equações originais com :
Percebemos que a segunda e a terceira equações são iguais. Isso indica que há liberdade para escolher uma das variáveis, ou seja, haverá uma solução que depende de dois parâmetros.

Passo 5

Resumindo, encontramos que para a x + 2 z = 2 , o sistema tem infinitas soluções dependendo de dois parâmetros. Agora, precisamos ver para quais valores de 2 z = 2 Rightarrow z = 1 isso é possível. Observando a primeira equação:
Se , teríamos:
E substituindo nas outras equações, obteríamos valores fixos para , o que não dá liberdade para duas variáveis. Portanto, não pode ser zero.

Resposta

O sistema tem uma solução que depende de dois parâmetros para todo valor de diferente de zero e com . Ou seja, para e .

Exercícios relacionados