Dado o sistema ca x+b z=2 a x+a y+4 z=4 a y+2 z=b.
Responda cada item: Para quais valores de a e o sistema tem Uma solução a um parâmetro (depende de uma variável)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de três equações com duas variáveis, a e b, e quer saber para quais valores de a e b o sistema tem uma solução que depende de um parâmetro. Isso quer dizer que queremos encontrar quando o sistema tem infinitas soluções, ou seja, quando uma das variáveis pode ser escolhida livremente. Para resolver isso, vamos usar a técnica de eliminação de variáveis e ver quando as equações se tornam dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
a x + b z = 2 (1) a x + a y + 4 z = 4 (2) a y + 2 z = b (3)
Nosso objetivo é manipular essas equações para encontrar relações entre a e b que permitam infinitas soluções.

Passo 3

Vamos começar subtraindo a equação (1) da equação (2) para eliminar o termo a x:
(a x + a y + 4 z) - (a x + b z) = 4 - 2 a y + (4 - b) z = 2 (4)
Agora, temos uma nova equação (4) que relaciona y e z.

Passo 4

Agora, vamos considerar as equações (3) e (4):
a y + 2 z = b (3) a y + (4 - b) z = 2 (4)
Para eliminar a y, subtraímos a equação (3) da equação (4):
(a y + (4 - b) z) - (a y + 2 z) = 2 - b (4 - b - 2) z = 2 - b (2 - b) z = 2 - b

Passo 5

Agora, temos a equação:
(2 - b) z = 2 - b
Se 2 - b neq 0, podemos dividir ambos os lados por (2 - b):
z = 1
Mas se 2 - b = 0, a equação se torna 0 = 0, o que é sempre verdadeiro, indicando que z pode ser qualquer valor. Vamos analisar esses dois casos separadamente.

Passo 6

Caso 1: 2 - b neq 0
Nessa situação, temos z = 1. Vamos substituir z = 1 na equação (3):
a y + 2(1) = b a y + 2 = b a y = b - 2 y = b - 2a
Agora, com y e z determinados, voltamos para a equação (1) para encontrar x:
a x + b(1) = 2 a x = 2 - b x = 2 - ba
Assim, temos uma solução única para x, y e z quando 2 - b neq 0 e a neq 0.

Passo 7

Caso 2: 2 - b = 0 ou seja, b = 2
Nesse caso, a equação (2 - b) z = 2 - b se torna 0 = 0, o que não nos dá informação sobre z. Então, z pode ser qualquer valor. Vamos ver o que acontece com as outras equações.
Substituindo b = 2 na equação (3):
a y + 2 z = 2
E na equação (4):
a y + (4 - 2) z = 2 a y + 2 z = 2
Percebemos que as duas equações são iguais, então não há restrição adicional para y e z. Agora, voltamos para a equação (1):
a x + 2 z = 2 a x = 2 - 2 z x = 2 - 2 za
Aqui, z pode ser qualquer valor, e x depende de z. Assim, temos infinitas soluções parametrizadas por z.

Passo 8

Resumindo:
  • Para b neq 2 e a neq 0, o sistema tem uma solução única.
  • Para b = 2 e qualquer valor de a neq 0, o sistema tem infinitas soluções dependendo de z.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções dependentes de um parâmetro quando b = 2 e a é qualquer valor diferente de zero, ou seja, para todo a neq 0 e b = 2.

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