A componente da aceleração de um objeto é ax=-(18,8 rad^2 / s^2) x. A coordenada inicial do objeto é x0=24 mm e a componente da sua velocidade vetorial inicial é v0= 0,71 m / s. Encontre a coordenada, a velocidade e a aceleração para t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a aceleração de um objeto na direção x, que depende da posição dele. Além disso, sabemos onde o objeto começou e qual era a sua velocidade inicial. Nosso objetivo é descobrir onde ele estará, qual será a sua velocidade e a sua aceleração depois de 2 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que envolve equações de posição, velocidade e aceleração que dependem do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
  • Aceleração:
  • Posição inicial: (vamos converter para metros: )
  • Velocidade inicial:
  • Tempo:

Passo 3

A equação da aceleração que temos é uma equação diferencial: omega = raiz18,8 approx 4,34 , rads , onde é a frequência angular. Comparando com a nossa equação de aceleração, vemos que , então:

Passo 4

Agora, a solução geral para essa equação de movimento harmônico simples é:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos usar a condição inicial de posição: quando x(0) = A cos(0) + B sin(0) , 0,024 = A times 1 + B times 0 .
A = 0,024 , m

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial de velocidade. Primeiro, vamos derivar a função de posição para encontrar a função de velocidade:
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
Aplicando v(0) = -A omega times 0 + B omega times 1 :
0,71 = B omega
B = 0,71omega approx 0,714,34 approx 0,1636 , m

Passo 7

Agora que temos x(t) = 0,024 cos(4,34 t) + 0,1636 sin(4,34 t) e , podemos escrever a equação da posição:

Passo 8

Para encontrar a posição, velocidade e aceleração em x(2) = 0,024 cos(4,34 times 2) + 0,1636 sin(4,34 times 2) , vamos calcular cada uma delas:
Posição:
x(2) = 0,024 cos(8,68) + 0,1636 sin(8,68)
x(2) approx 0,024 times -0,6702 + 0,1636 times 0,7415
x(2) approx -0,0161 + 0,1212
x(2) approx 0,1051 , m
v(2) = -0,024 times 4,34 sin(8,68) + 0,1636 times 4,34 cos(8,68)
Velocidade:
v(2) approx -0,1042 times 0,7415 + 0,7103 times -0,6702
v(2) approx -0,0774 - 0,4755
v(2) approx -0,5529 , m/s
ax = -omega^2 x(t)
Aceleração:
Usamos a equação original da aceleração:
ax = -18,8 times 0,1051
ax approx -1,974 , m/s^2

Resposta

Para :
  • Coordenada (posição):
  • Velocidade:
  • Aceleração:

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