Seja um oscilador harmônico simples (sistema massa-mola horizontal). A amplitude do movimento é de 14 cm e a massa do corpo preso à mola é de
. Se em
o corpo ocupava a posição
e se movia com velocidade de
. Encontre: (a) A constante elástica da mola, (b) O período do movimento, © A velocidade máxima, (d) a aceleração máxima, (e) a posição, a velocidade e a aceleração no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um oscilador harmônico simples, que nesse caso é um sistema massa-mola horizontal. A gente vai trabalhar com conceitos de movimento oscilatório, como amplitude, constante elástica, período, velocidade e aceleração. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas da física relacionadas a esses conceitos e aplicar as condições iniciais que foram dadas no problema.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a constante elástica da mola
Primeiro, vamos lembrar que a constante elástica da mola,
, está relacionada à massa
e à frequência angular
pela fórmula:
Também sabemos que o período
está relacionado com
por:
Mas como ainda não temos o período, vamos usar a equação de movimento do oscilador harmônico:
Sabemos que a amplitude
m, a posição inicial
m e a velocidade inicial
m/s.
A velocidade é a derivada da posição:
No tempo
:
E para a velocidade:
Sabendo que
, podemos encontrar
e, posteriormente,
.
Após os cálculos, encontramos que a constante elástica
é aproximadamente:
Passo 3
Parte (b): Encontrar o período do movimento
O período
é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. A relação entre o período e a constante elástica é dada por:
Já sabemos que
e
. Substituindo na fórmula:
Então, o período é aproximadamente
segundos.
Passo 4
Parte ©: Encontrar a velocidade máxima
A velocidade máxima
ocorre quando a massa passa pela posição de equilíbrio. Ela é dada por:
Já calculamos
na parte (a). Supondo que
, com
s:
Então,
Passo 5
Parte (d): Encontrar a aceleração máxima
A aceleração máxima
ocorre também na posição de amplitude máxima e é dada por:
Usando
m e
:
Passo 6
Parte (e): Encontrar a posição, a velocidade e a aceleração no instante
s
Usamos as equações do movimento oscilatório:
Com
m,
,
, e
s:
Calculando:
Como
e
são funções periódicas, podemos ajustar o ângulo:
Então:
Resposta
(a) A constante elástica da mola é aproximadamente
.
(b) O período do movimento é aproximadamente
segundos.
© A velocidade máxima é aproximadamente
.
(d) A aceleração máxima é aproximadamente
.
(e) No instante
s:
- Posição:
- Velocidade:
- Aceleração:
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oscilando em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por
. Qual é (a) a aceleração máxima e (b) a constante da mola. Encontre
e
para
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