Seja um oscilador harmônico simples (sistema massa-mola horizontal). A amplitude do movimento é de 14 cm e a massa do corpo preso à mola é de 1,2 kg. Se em t0=0 o corpo ocupava a posição x=+7 cm e se movia com velocidade de -0,3 m / s. Encontre: (a) A constante elástica da mola, (b) O período do movimento, © A velocidade máxima, (d) a aceleração máxima, (e) a posição, a velocidade e a aceleração no instante t=3 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um oscilador harmônico simples, que nesse caso é um sistema massa-mola horizontal. A gente vai trabalhar com conceitos de movimento oscilatório, como amplitude, constante elástica, período, velocidade e aceleração. Para resolver, vamos precisar usar fórmulas da física relacionadas a esses conceitos e aplicar as condições iniciais que foram dadas no problema.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a constante elástica da mola
Primeiro, vamos lembrar que a constante elástica da mola, omega = raizkm , está relacionada à massa T = 2piomega e à frequência angular x(t) = A cos(omega t + phi) pela fórmula:
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
Também sabemos que o período x(0) = A cos(phi) = 0,07 Rightarrow cos(phi) = 0,070,14 = 0,5 Rightarrow phi = pi3 está relacionado com v(0) = -A omega sin(phi) = -0,3 Rightarrow sin(phi) = 0,30,14 omega por:
k approx 10 , N/m
Mas como ainda não temos o período, vamos usar a equação de movimento do oscilador harmônico:
Sabemos que a amplitude m, a posição inicial m e a velocidade inicial m/s.
A velocidade é a derivada da posição:
No tempo :
E para a velocidade:
Sabendo que , podemos encontrar e, posteriormente, .
Após os cálculos, encontramos que a constante elástica é aproximadamente:

Passo 3

Parte (b): Encontrar o período do movimento
O período T = 2pi raizmk é o tempo que a massa leva para completar uma oscilação completa. A relação entre o período e a constante elástica é dada por:
T = 2pi raiz1,210 approx 2pi raiz0,12 approx 2pi times 0,346 approx 2,172 , s
Já sabemos que e . Substituindo na fórmula:
Então, o período é aproximadamente segundos.

Passo 4

Parte ©: Encontrar a velocidade máxima
A velocidade máxima vmax = A omega ocorre quando a massa passa pela posição de equilíbrio. Ela é dada por:
omega approx 2pi2,17 approx 2,895 , rad/s
Já calculamos vmax = 0,14 times 2,895 approx 0,405 , m/s na parte (a). Supondo que , com s:
Então,

Passo 5

Parte (d): Encontrar a aceleração máxima
A aceleração máxima amax = A omega^2 ocorre também na posição de amplitude máxima e é dada por:
amax = 0,14 times (2,895)^2 approx 0,14 times 8,377 approx 1,173 , m/s^2
Usando m e :

Passo 6

Parte (e): Encontrar a posição, a velocidade e a aceleração no instante x(t) = A cos(omega t + phi) s
Usamos as equações do movimento oscilatório:
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
a(t) = -A omega^2 cos(omega t + phi)
omega t + phi approx 2,895 times 3 + pi3 approx 8,685 + 1,047 approx 9,732 , rad
Com 9,732 , rad - 3 times 2pi approx 9,732 - 18,85 approx -9,118 , rad m, cos(-9,118) = cos(9,118) approx -0,993 , sin(-9,118) = -sin(9,118) approx 0,117 , e x(3) = 0,14 times (-0,993) approx -0,139 , m s:
Calculando:
v(3) = -0,14 times 2,895 times 0,117 approx -0,047 , m/s
Como a(3) = -0,14 times (2,895)^2 times (-0,993) approx 1,163 , m/s^2 e são funções periódicas, podemos ajustar o ângulo:
Então:

Resposta

(a) A constante elástica da mola é aproximadamente .
(b) O período do movimento é aproximadamente segundos.
© A velocidade máxima é aproximadamente .
(d) A aceleração máxima é aproximadamente .
(e) No instante s:
  • Posição:
  • Velocidade:
  • Aceleração:

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