Uma massa de 0,500 kg oscilando em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por vx(t)=(3,60 cm / s) sen[(4,71 s^-1) t-pi / 2]. Qual é (a) a aceleração máxima e (b) a constante da mola. Encontre v, x e a para t=2 s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma massa de 0,500 kg oscilando em uma mola, e a velocidade dessa massa em função do tempo está descrita pela equação:
vx(t) = (3,60 , cm/s) cdot sin[(4,71 , s^-1) cdot t - pi2]
O que precisamos fazer é:
a) Encontrar a aceleração máxima;
b) Determinar a constante da mola.
Além disso, também precisamos encontrar a velocidade ( v), posição ( x) e aceleração ( a) para t = 2 , s.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS) e as relações entre velocidade, posição e aceleração nesse tipo de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração máxima. Sabemos que a aceleração em um MHS é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral para a aceleração é:
a(t) = dvdt
Dada a função de velocidade, vamos derivar em relação ao tempo.

Passo 3

Derivando a função de velocidade:
vx(t) = 3,60 , cm/s cdot sin(4,71 , t - pi2)
A derivada de sin(omega t + phi) é omega cdot cos(omega t + phi). Então:
a(t) = 3,60 , cm/s cdot 4,71 , s^-1 cdot cos(4,71 , t - pi2)
Simplificando:
a(t) = 16,956 , cm/s^2 cdot cos(4,71 , t - pi2)

Passo 4

A aceleração máxima ocorre quando o cosseno é igual a 1. Portanto:
amáx = 16,956 , cm/s^2 á
Convertendo para m/s²:
amáx = 0,16956 , m/s^2 á

Passo 5

Agora, vamos encontrar a constante da mola ( k). Sabemos que em um MHS, a aceleração máxima também pode ser expressa como:
amáx = A cdot omega^2 á
Onde A é a amplitude da posição e omega é a frequência angular.
Mas também sabemos que a força da mola é:
F = -k cdot x
E a segunda lei de Newton nos dá:
F = m cdot a
Unindo as duas:
m cdot a = -k cdot x
No ponto de máxima aceleração, x = A. Então:
k = m cdot omega^2 cdot A1
Para encontrar A, precisamos relacionar com a velocidade máxima.

Passo 6

A velocidade máxima ( vmáxá) em um MHS é dada por:
vmáx = A cdot omega á
Da função de velocidade:
vx(t) = 3,60 , cm/s cdot sin(4,71 , t - pi2)
Portanto, vmáx = 3,60 , cm/s = 0,036 , m/sá e omega = 4,71 , s^-1.
Resolvendo para A:
A = vmáxomega = 0,036 , m/s4,71 , s^-1 approx 0,00765 , m á

Passo 7

Agora, substituindo A e omega na fórmula da constante da mola:
k = m cdot omega^2 = 0,500 , kg cdot (4,71 , s^-1)^2 approx 0,500 cdot 22,18 approx 11,09 , N/m

Passo 8

Por último, vamos encontrar v, x e a para t = 2 , s.
Usando as equações:
vx(2) = 3,60 , cm/s cdot sin(4,71 cdot 2 - pi2) x(2) = A cdot cos(4,71 cdot 2 - pi2) a(2) = 16,956 , cm/s^2 cdot cos(4,71 cdot 2 - pi2)
Calculando:
4,71 cdot 2 = 9,42 9,42 - pi2 approx 9,42 - 1,57 approx 7,85 , rad
Usando uma calculadora:
sin(7,85) approx 0,999 cos(7,85) approx 0,046
Então:
vx(2) approx 3,60 cdot 0,999 approx 3,60 , cm/s x(2) approx 0,00765 , m cdot 0,046 approx 0,00035 , m a(2) approx 16,956 , cm/s^2 cdot 0,046 approx 0,78 , cm/s^2

Resposta

a) A aceleração máxima é aproximadamente 0,16956 , m/s^2;
b) A constante da mola é cerca de 11,09 , N/m.
Para t = 2 , s:
  • Velocidade: 3,60 , cm/s
  • Posição: 0,00035 , m
  • Aceleração: 0,78 , cm/s^2

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