Uma massa de
oscilando em uma mola tem a velocidade em função do tempo dada por
. Qual é (a) a aceleração máxima e (b) a constante da mola. Encontre
e
para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma massa de 0,500 kg oscilando em uma mola, e a velocidade dessa massa em função do tempo está descrita pela equação:
O que precisamos fazer é:
a) Encontrar a aceleração máxima;
b) Determinar a constante da mola.
Além disso, também precisamos encontrar a velocidade ( ), posição (
) e aceleração (
) para
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS) e as relações entre velocidade, posição e aceleração nesse tipo de movimento.
a) Encontrar a aceleração máxima;
b) Determinar a constante da mola.
Além disso, também precisamos encontrar a velocidade (
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples (MHS) e as relações entre velocidade, posição e aceleração nesse tipo de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração máxima. Sabemos que a aceleração em um MHS é dada pela derivada da velocidade em relação ao tempo. A fórmula geral para a aceleração é:
Dada a função de velocidade, vamos derivar em relação ao tempo.
Passo 3
Derivando a função de velocidade:
A derivada de
é
. Então:
Simplificando:
Passo 4
A aceleração máxima ocorre quando o cosseno é igual a 1. Portanto:
Convertendo para m/s²:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a constante da mola (
). Sabemos que em um MHS, a aceleração máxima também pode ser expressa como:
Onde
é a amplitude da posição e
é a frequência angular.
Mas também sabemos que a força da mola é:
Mas também sabemos que a força da mola é:
E a segunda lei de Newton nos dá:
Unindo as duas:
No ponto de máxima aceleração,
. Então:
Para encontrar
, precisamos relacionar com a velocidade máxima.
Passo 6
A velocidade máxima (
) em um MHS é dada por:
Da função de velocidade:
Portanto,
e
.
Resolvendo para :
Resolvendo para
Passo 7
Agora, substituindo
e
na fórmula da constante da mola:
Passo 8
Por último, vamos encontrar
,
e
para
.
Usando as equações:
Usando as equações:
Calculando:
Usando uma calculadora:
Então:
Resposta
a) A aceleração máxima é aproximadamente
;
b) A constante da mola é cerca de .
Para :
b) A constante da mola é cerca de
Para
- Velocidade:
- Posição:
- Aceleração: