Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal. O escoamento é axissimétrico em torno do eixo
, o qual é normal à superfície. A componente
do escoamento segue o modelo
Determine (a) a componente radial do escoamento
e (b) as componentes convectiva e local do vetor aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluxo em onda de um fluido incompressível sobre uma superfície sólida, que se comporta de maneira senoidal. A gente sabe que o fluxo é simétrico ao redor do eixo
, que está normal à superfície. A componente
do fluxo é dada por:
Nosso objetivo é:
(a) Encontrar a componente radial do fluxo
.
(b) Determinar as componentes convectiva e local do vetor aceleração.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações de movimento para fluidos, especialmente em coordenadas cilíndricas, já que o problema é axissimétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, como o fluido é incompressível e o fluxo é axissimétrico, a equação da continuidade em coordenadas cilíndricas nos ajuda a relacionar as componentes do fluxo. A equação da continuidade para um fluido incompressível em coordenadas cilíndricas (
) é:
Isso garante que a massa do fluido seja conservada.
Passo 3
Vamos usar a equa��ão da continuidade para encontrar
. Sabemos que . Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, substituímos na equação da continuidade:
Passo 4
Vamos resolver a equação para
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Como o fluxo deve ser finito em
,
.
Passo 5
Agora, isolamos
:
Então, a componente radial do fluxo é proporcional a
e ao seno do tempo.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos encontrar as componentes convectiva e local do vetor aceleração. A aceleração total em um fluxo é dada por:
A primeira parte
é a aceleração local, e a segunda parte
é a aceleração convectiva.
Passo 7
Primeiro, calculamos a aceleração local:
Considerando e , derivamos em relação a
:
Passo 8
Agora, calculamos a aceleração convectiva
. Em coordenadas cilíndricas, isso envolve derivadas das componentes do fluxo em relação às coordenadas espaciais. Porém, como nossas componentes
e
dependem apenas de
e
, algumas derivadas se simplificam.
Após calcular, obtemos:
Substituindo
e
, e realizando as derivações, encontramos a expressão para a aceleração convectiva.
Resposta
(a) A componente radial do escoamento é:
(b) As componentes do vetor aceleração são:
- Aceleração local:
- Aceleração convectiva: