Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal. O escoamento é axissimétrico em torno do eixo z, o qual é normal à superfície. A componente z do escoamento segue o modelo
Vz=A z sen(2 pi tT)
Determine (a) a componente radial do escoamento (Vr) e (b) as componentes convectiva e local do vetor aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fluxo em onda de um fluido incompressível sobre uma superfície sólida, que se comporta de maneira senoidal. A gente sabe que o fluxo é simétrico ao redor do eixo Vz = A z sen(2 pi tT) , que está normal à superfície. A componente do fluxo é dada por:
Nosso objetivo é:
(a) Encontrar a componente radial do fluxo .
(b) Determinar as componentes convectiva e local do vetor aceleração.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações de movimento para fluidos, especialmente em coordenadas cilíndricas, já que o problema é axissimétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, como o fluido é incompressível e o fluxo é axissimétrico, a equação da continuidade em coordenadas cilíndricas nos ajuda a relacionar as componentes do fluxo. A equação da continuidade para um fluido incompressível em coordenadas cilíndricas ( 1rpartial (r Vr)partial r + partial Vzpartial z = 0 ) é:
Isso garante que a massa do fluido seja conservada.

Passo 3

Vamos usar a equa��ão da continuidade para encontrar partial Vzpartial z = A sen(2 pi tT) . Sabemos que . Primeiro, calculamos a derivada parcial de 1rpartial (r Vr)partial r + A sen(2 pi tT) = 0 em relação a :
Agora, substituímos na equação da continuidade:

Passo 4

Vamos resolver a equação para partial (r Vr)partial r = - r A sen(2 pi tT) :
Integrando ambos os lados em relação a r Vr = - 12 r^2 A sen(2 pi tT) + C :
Onde é a constante de integração. Como o fluxo deve ser finito em , .

Passo 5

Agora, isolamos Vr = - 12 r A sen(2 pi tT) :
Então, a componente radial do fluxo é proporcional a e ao seno do tempo.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos encontrar as componentes convectiva e local do vetor aceleração. A aceleração total em um fluxo é dada por:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla) V
A primeira parte é a aceleração local, e a segunda parte é a aceleração convectiva.

Passo 7

Primeiro, calculamos a aceleração local:
alocal = partial Vpartial t
Considerando e , derivamos em relação a partial Vzpartial t = A z 2 piT cos(2 pi tT) :
partial Vrpartial t = - 12 r A 2 piT cos(2 pi tT)

Passo 8

Agora, calculamos a aceleração convectiva aconvectiva = Vr partial Vpartial r . Em coordenadas cilíndricas, isso envolve derivadas das componentes do fluxo em relação às coordenadas espaciais. Porém, como nossas componentes e dependem apenas de e , algumas derivadas se simplificam.
Após calcular, obtemos:
Substituindo e , e realizando as derivações, encontramos a expressão para a aceleração convectiva.

Resposta

(a) A componente radial do escoamento é:
(b) As componentes do vetor aceleração são:
  • Aceleração local:
Vr = -12 A r sen(2 pi tT)
  • Aceleração convectiva:
alocal = ( -12 A r 2 piT cos(2 pi tT) ) r + ( A z 2 piT cos(2 pi tT) ) z

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