A componente da velocidade num campo de escoamento permanente, incompressível, no plano xy, é , onde e é medido em metros. Encontre a mais simples componente da velocidade deste escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto .
Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um campo de escoamento permanente e incompressível no plano xy. A componente da velocidade é dada por , onde . Nosso objetivo é encontrar a componente da velocidade e calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de escoamento incompressível e as equações de Navier-Stokes simplificadas.

Passo 2

Primeiro, como o escoamento é incompressível, sabemos que a divergência da velocidade é zero. A equação de continuidade para um escoamento bidimensional incompressível é:
Dado que , vamos calcular :

Passo 3

Substituindo na equação de continuidade:
Isolando :

Passo 4

Integrando em relação a para encontrar :
Onde é a constante de integração. Como o escoamento é bidimensional e não há variação de com , assumimos que . Portanto:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto . A aceleração em um escoamento é dada pelo vetor:
Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias.

Passo 6

Calculando :
Já calculamos .
Agora, e :

Passo 7

Substituindo no vetor aceleração:

Passo 8

Agora, vamos avaliar no ponto :
Primeiro, calculamos e :
Agora, substituímos em e :
No entanto, parece que houve uma diferença no sinal. Vamos revisar:
Verificando com a resposta fornecida, há um sinal negativo para . Isso pode indicar uma interpretação diferente ou uma condição adicional no enunciado. Porém, seguindo os cálculos, a aceleraç��o .

Resposta

A componente da velocidade é . A aceleração da partícula fluida no ponto é e .

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a.
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b.
Nenhuma das alternativas
c.
50 mm
d.
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e.
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