A componente
da velocidade num campo de escoamento permanente, incompressível, no plano xy, é
, onde
e
é medido em metros. Encontre a mais simples componente
da velocidade deste escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto
.
Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um campo de escoamento permanente e incompressível no plano xy. A componente
da velocidade é dada por
, onde
. Nosso objetivo é encontrar a componente
da velocidade
e calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de escoamento incompressível e as equações de Navier-Stokes simplificadas.
Passo 2
Primeiro, como o escoamento é incompressível, sabemos que a divergência da velocidade é zero. A equação de continuidade para um escoamento bidimensional incompressível é:
Dado que
, vamos calcular
:
Passo 3
Substituindo na equação de continuidade:
Isolando
:
Passo 4
Integrando em relação a
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Como o escoamento é bidimensional e não há variação de
com
, assumimos que
. Portanto:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração de uma partícula fluida no ponto
. A aceleração em um escoamento é dada pelo vetor:
Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias.
Passo 6
Calculando
:
Já calculamos
.
Agora,
e
:
Passo 7
Substituindo no vetor aceleração:
Passo 8
Agora, vamos avaliar no ponto
:
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, substituímos em
e
:
No entanto, parece que houve uma diferença no sinal. Vamos revisar:
Verificando com a resposta fornecida, há um sinal negativo para
. Isso pode indicar uma interpretação diferente ou uma condição adicional no enunciado. Porém, seguindo os cálculos, a aceleraç��o
.
Resposta
A componente
da velocidade é
. A aceleração da partícula fluida no ponto
é
e
.