Um escoamento uniforme e compressível ocorre em uma tubulação de diâmetro constante. Escreva a equação diferencial da continuidade em coordenadas cilíndricas simplificada para o escoamento permanente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Mecânica dos Fluidos, especificamente usando a equação de continuidade em coordenadas cilíndricas para um escoamento permanente e compressível em uma tubulação de diâmetro constante. Para isso, vamos precisar entender como simplificar a equação de continuidade dada as condições do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de continuidade. Ela expressa a conservação de massa em um escoamento. Em coordenadas cilíndricas, a equação completa é:
Onde:
-
é a densidade do fluido, -
são as componentes da velocidade nas direções radial, angular e axial, respectivamente, -
são as coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Como o escoamento é permanente (ou estável), isso significa que não há variação no tempo. Portanto, o termo
desaparece da equação:
Passo 4
Além disso, a tubulação tem diâmetro constante, o que implica que não há variação na direção radial (
) ou angular (
). Isso simplifica ainda mais a equação, já que as velocidades radiais
e angulares
podem ser consideradas constantes ou mesmo zero, dependendo do contexto específico.
Passo 5
Assumindo que não há variação radial nem angular na velocidade (ou seja,
e
), a equação de continuidade simplifica para:
Passo 6
Expandindo o termo
pela regra do produto, temos:
Resposta
A equação diferencial da continuidade simplificada para o escoamento permanente e compressível em coordenadas cilíndricas é: