Um escoamento uniforme e compressível ocorre em uma tubulação de diâmetro constante. Escreva a equação diferencial da continuidade em coordenadas cilíndricas simplificada para o escoamento permanente.
partial rhopartial t+1r partialpartial r(r rho cdot vr)+1r partialpartial theta(rho cdot vtheta)+partialpartial z(rho cdot vz)=0
vz partial rhopartial z+rho partial vzpartial z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Mecânica dos Fluidos, especificamente usando a equação de continuidade em coordenadas cilíndricas para um escoamento permanente e compressível em uma tubulação de diâmetro constante. Para isso, vamos precisar entender como simplificar a equação de continuidade dada as condições do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de continuidade. Ela expressa a conservação de massa em um escoamento. Em coordenadas cilíndricas, a equação completa é:
partial rhopartial t + 1r partialpartial r(r rho vr) + 1r partialpartial theta(rho vtheta) + partialpartial z(rho vz) = 0
Onde:
  • é a densidade do fluido,
  • são as componentes da velocidade nas direções radial, angular e axial, respectivamente,
  • são as coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Como o escoamento é permanente (ou estável), isso significa que não há variação no tempo. Portanto, o termo 1r partialpartial r(r rho vr) + 1r partialpartial theta(rho vtheta) + partialpartial z(rho vz) = 0 desaparece da equação:

Passo 4

Além disso, a tubulação tem diâmetro constante, o que implica que não há variação na direção radial ( ) ou angular ( ). Isso simplifica ainda mais a equação, já que as velocidades radiais e angulares podem ser consideradas constantes ou mesmo zero, dependendo do contexto específico.

Passo 5

Assumindo que não há variação radial nem angular na velocidade (ou seja, partialpartial z(rho vz) = 0 e ), a equação de continuidade simplifica para:

Passo 6

Expandindo o termo vz partial rhopartial z + rho partial vzpartial z = 0 pela regra do produto, temos:

Resposta

A equação diferencial da continuidade simplificada para o escoamento permanente e compressível em coordenadas cilíndricas é:
vz partial rhopartial z + rho partial vzpartial z = 0

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