Escreva os casos particulares da equação da continuidade para: escoamento compressível, transiente, na direção y apenas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um exercício sobre a equação da continuidade para um escoamento compressível, transiente, na direção y apenas. Basicamente, vamos usar a equação da continuidade, que é fundamental na mecânica dos fluidos para garantir a conservação da massa. Vamos precisar entender como simplificar essa equação considerando que o escoamento é apenas na direção y e que ele pode variar no tempo (transiente).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da continuidade geral para um escoamento compressível. Ela é dada por:
Aqui,
é a densidade do fluido,
é o vetor velocidade, e
representa a divergência, que basicamente nos mostra como a densidade e a velocidade estão mudando no espaço.
Passo 3
Como o problema diz que o escoamento é apenas na direção y, isso simplifica a equação porque as componentes de velocidade nas outras direções (x e z) são zero. Ou seja,
, onde
é a velocidade na direção y e
é o vetor unitário nessa direção.
Passo 4
Além disso, o escoamento é transiente, o que significa que as propriedades do fluido, como a densidade
, podem variar com o tempo. Portanto, precisamos considerar a variação temporal na equação.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a equação da continuidade considerando essas simplificações. Como a velocidade só tem componente na direção y, a divergência
se reduz à derivada em y:
Passo 6
Essa é exatamente a forma particular da equação da continuidade para um escoamento compressível, transiente, na direção y apenas. Aqui,
representa a variação da densidade com o tempo, e
representa a variação espacial da massa que está se movendo na direção y.
Resposta
A equação da continuidade para um escoamento compressível, transiente, na direção y apenas é: