A componente da velocidade u de um campo de escoamento estacionário, bidimensional, incompressível, é:
u=a x+b y
Onde a e b são constantes. A componente da velocidade v é desconhecida. Encontre uma expressão para v como uma função de x e y. (R.: v=-a y+f(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de escoamento estacionário, bidimensional e incompressível. A componente da velocidade na direção u = a x + b y , que é o , é dada por:
Queremos descobrir a componente da velocidade na direção , que é o , em função de e . Para isso, vamos usar um conceito da matéria de fluidos chamado incompressibilidade, que basicamente diz que o fluido não está sendo comprimido ou expandido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o escoamento ser incompressível. Matemáticamente, isso se traduz na divergência do campo de velocidade sendo zero. Em termos de componentes, fica:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Ou seja, a taxa de variação de em relação a somada à taxa de variação de em relação a deve ser igual a zero.

Passo 3

Sabemos que partial upartial x = partialpartial x(a x + b y) = a . Então, vamos calcular a derivada parcial de a + partial vpartial y = 0 em relação a :
Agora, substituímos esse valor na equação da divergência:

Passo 4

Agora, queremos encontrar partial vpartial y = -a . Vamos rearranjar a equação para isolar a derivada de em relação a :
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é constante e igual a .

Passo 5

Para encontrar v = integral partial vpartial y , dy = integral (-a) , dy = -a y + f(x) , precisamos integrar essa derivada em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de , já que estamos integrando em relação a .

Resposta

Portanto, a componente da velocidade v = -a y + f(x) em função de e é:

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