A componente da velocidade
de um campo de escoamento estacionário, bidimensional, incompressível, é:
Onde a e b são constantes. A componente da velocidade v é desconhecida. Encontre uma expressão para v como uma função de x e y. (R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo de escoamento estacionário, bidimensional e incompressível. A componente da velocidade na direção
, que é o
, é dada por:
Queremos descobrir a componente da velocidade na direção
, que é o
, em função de
e
. Para isso, vamos usar um conceito da matéria de fluidos chamado incompressibilidade, que basicamente diz que o fluido não está sendo comprimido ou expandido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o escoamento ser incompressível. Matemáticamente, isso se traduz na divergência do campo de velocidade sendo zero. Em termos de componentes, fica:
Ou seja, a taxa de variação de
em relação a
somada à taxa de variação de
em relação a
deve ser igual a zero.
Passo 3
Sabemos que
. Então, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, substituímos esse valor na equação da divergência:
Passo 4
Agora, queremos encontrar
. Vamos rearranjar a equação para isolar a derivada de
em relação a
:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é constante e igual a
.
Passo 5
Para encontrar
, precisamos integrar essa derivada em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que pode depender de
, já que estamos integrando em relação a
.
Resposta
Portanto, a componente da velocidade
em função de
e
é: