Expresse como uma região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. é limitada pelas curvas .

Passo 1

Então, a gente tem um problema que envolve calcular uma integral dupla sobre uma região . A região é limitada pelas curvas e . Nosso objetivo é primeiro descrever de duas formas diferentes: como uma região do tipo I e como uma região do tipo II. Depois, vamos calcular a integral dupla usando essas duas descrições. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração em cada tipo de região e aplicar as técnicas de integração apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que limitam a região . Temos , que é uma parábola voltada para cima, e , que é uma reta. Para entender onde elas se intersectam, vamos resolver :
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos e . Isso nos ajuda a delimitar a região que estamos analisando.

Passo 3

Agora, vamos expressar como uma região do tipo I. Uma região do tipo I é aquela onde varia entre duas funções de , e varia entre dois valores constantes. Com base nas interseções que encontramos:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada nesse intervalo, varia de a .
Então, a região como tipo I fica:

Passo 4

Agora, vamos expressar como uma região do tipo II. Uma região do tipo II é aquela onde varia entre duas funções de , e varia entre dois valores constantes. Observando as curvas e , precisamos expressar em termos de :
Para :
Para :
Sabemos que varia de 0 a 9 (já que no ponto de interseção maior, ). Então, a região como tipo II fica:

Passo 5

Agora que temos as duas descrições da região , vamos calcular a integral dupla de duas maneiras: primeiro como tipo I e depois como tipo II.
Primeiro, usando a descrição do tipo I:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, mantendo constante:
Aqui, é uma constante em relação a , então:

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a de 0 a 3:
Calculando cada parte:
Subtraindo:

Passo 8

Agora, vamos calcular a mesma integral, mas usando a descrição do tipo II:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 9

Primeiro, calculamos a integral interna com relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então:

Passo 10

Agora, integramos o resultado em relação a de 0 a 9:
Calculando cada parte:
Subtraindo:

Resposta

A integral dupla vale .

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