Expresse
como uma região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.
é limitada pelas curvas
.
Passo 1
Então, a gente tem um problema que envolve calcular uma integral dupla sobre uma região
. A região
é limitada pelas curvas
e
. Nosso objetivo é primeiro descrever
de duas formas diferentes: como uma região do tipo I e como uma região do tipo II. Depois, vamos calcular a integral dupla
usando essas duas descrições. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração em cada tipo de região e aplicar as técnicas de integração apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que limitam a região
. Temos
, que é uma parábola voltada para cima, e
, que é uma reta. Para entender onde elas se intersectam, vamos resolver
:
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos
e
. Isso nos ajuda a delimitar a região
que estamos analisando.
Passo 3
Agora, vamos expressar
como uma região do tipo I. Uma região do tipo I é aquela onde
varia entre duas funções de
, e
varia entre dois valores constantes. Com base nas interseções que encontramos:
-
varia de 0 a 3. - Para cada
nesse intervalo, varia de a .
Então, a região
como tipo I fica:
Passo 4
Agora, vamos expressar
como uma região do tipo II. Uma região do tipo II é aquela onde
varia entre duas funções de
, e
varia entre dois valores constantes. Observando as curvas
e
, precisamos expressar
em termos de
:
Para
:
Para
:
Sabemos que
varia de 0 a 9 (já que no ponto de interseção maior,
). Então, a região
como tipo II fica:
Passo 5
Agora que temos as duas descrições da região
, vamos calcular a integral dupla
de duas maneiras: primeiro como tipo I e depois como tipo II.
Primeiro, usando a descrição do tipo I:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro, mantendo
constante:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então:
Passo 7
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a
de 0 a 3:
Calculando cada parte:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, vamos calcular a mesma integral, mas usando a descrição do tipo II:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 9
Primeiro, calculamos a integral interna com relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então:
Passo 10
Agora, integramos o resultado em relação a
de 0 a 9:
Calculando cada parte:
Subtraindo:
Resposta
A integral dupla
vale
.