Expresse D como uma região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. integral duplaD x y d A, D é limitada pelas curvas y=x^2, y=3 x.

Passo 1

Então, a gente tem um problema que envolve calcular uma integral dupla sobre uma região . A região é limitada pelas curvas e . Nosso objetivo é primeiro descrever de duas formas diferentes: como uma região do tipo I e como uma região do tipo II. Depois, vamos calcular a integral dupla usando essas duas descrições. Para isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração em cada tipo de região e aplicar as técnicas de integração apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que limitam a região x^2 - 3x = 0 x(x - 3) = 0 x = 0 ou x = 3 . Temos , que é uma parábola voltada para cima, e , que é uma reta. Para entender onde elas se intersectam, vamos resolver :
Portanto, as curvas se cruzam nos pontos e . Isso nos ajuda a delimitar a região que estamos analisando.

Passo 3

Agora, vamos expressar 0 <= x <= 3 x^2 <= y <= 3x como uma região do tipo I. Uma região do tipo I é aquela onde varia entre duas funções de , e varia entre dois valores constantes. Com base nas interseções que encontramos:
  • varia de 0 a 3.
  • Para cada nesse intervalo, varia de a .
Então, a região como tipo I fica:

Passo 4

Agora, vamos expressar x = raizy (considerando ( x >= 0 )) como uma região do tipo II. Uma região do tipo II é aquela onde x = y3 varia entre duas funções de 0 <= y <= 9 y3 <= x <= raizy , e varia entre dois valores constantes. Observando as curvas e , precisamos expressar em termos de :
Para :
Para :
Sabemos que varia de 0 a 9 (já que no ponto de interseção maior, ). Então, a região como tipo II fica:

Passo 5

Agora que temos as duas descrições da região integral duplaD x y , dA = integralx=0^3 integraly=x^2^3x x y , dy , dx , vamos calcular a integral dupla de duas maneiras: primeiro como tipo I e depois como tipo II.
Primeiro, usando a descrição do tipo I:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro, mantendo integraly=x^2^3x x y , dy constante:
x integralx^2^3x y , dy = x [ y^22 ]x^2^3x = x ( (3x)^22 - (x^2)^22 ) = x ( 9x^22 - x^42 ) = 9x^32 - x^52
Aqui, é uma constante em relação a , então:

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^3 ( 9x^32 - x^52 ) dx = 92 integral0^3 x^3 , dx - 12 integral0^3 x^5 , dx de 0 a 3:
92 [ x^44 ]0^3 = 92 ( 814 ) = 7298
Calculando cada parte:
12 [ x^66 ]0^3 = 12 ( 7296 ) = 72912
7298 - 72912 = 218724 - 145824 = 72924 = 2438
Subtraindo:

Passo 8

Agora, vamos calcular a mesma integral, mas usando a descrição do tipo II:
integral duplaD x y , dA = integraly=0^9 integralx=y3^raizy x y , dx , dy
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 9

Primeiro, calculamos a integral interna com relação a integralx=y3^raizy x y , dx :
y integraly3^raizy x , dx = y [ x^22 ]y3^raizy = y ( y2 - y^218 ) = y^22 - y^318
Aqui, é uma constante em relação a , então:

Passo 10

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^9 ( y^22 - y^318 ) dy = 12 integral0^9 y^2 , dy - 118 integral0^9 y^3 , dy de 0 a 9:
12 [ y^33 ]0^9 = 12 ( 7293 ) = 7296
Calculando cada parte:
118 [ y^44 ]0^9 = 118 ( 65614 ) = 656172
7296 - 656172 = 874872 - 656172 = 218772 = 72924 = 2438
Subtraindo:

Resposta

A integral dupla vale .

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