Considere o escoamento de água onde o campo de escoamento pode ser representado pelo potencial de velocidade
, onde
, e as coordenadas são medidas em metros.
© Obtenha expressões para o campo de velocidade e a função corrente.
© Obtenha expressões para o campo de velocidade e a função corrente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o campo de velocidade e a função corrente para um escoamento de água descrito pelo potencial de velocidade
. Isso está relacionado à Mecânica dos Fluidos, mais especificamente ao estudo de escoamentos potenciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais do potencial de velocidade para obter as componentes da velocidade e depois encontrar a função corrente que descreve as linhas de escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo de velocidade
em termos do potencial de velocidade
é dado pelas derivadas parciais:
Vamos calcular essas derivadas usando a expressão de
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
para encontrar
:
Agora, calculando a derivada parcial de
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Agora que temos as componentes da velocidade, vamos encontrar a função corrente
. A função corrente está relacionada ao campo de velocidade pelas seguintes relações:
Vamos integrar para encontrar
.
Primeiro, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar zero. Assim, a função corrente é:
Resposta
O campo de velocidade é dado por:
E a função corrente é: