Considere o escoamento de água onde o campo de escoamento pode ser representado pelo potencial de velocidade phi=A x+B x^2-By^2, onde A=1 s^-1, B=1 m^-1 s^-1, e as coordenadas são medidas em metros.
© Obtenha expressões para o campo de velocidade e a função corrente. (0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o campo de velocidade e a função corrente para um escoamento de água descrito pelo potencial de velocidade . Isso está relacionado à Mecânica dos Fluidos, mais especificamente ao estudo de escoamentos potenciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais do potencial de velocidade para obter as componentes da velocidade e depois encontrar a função corrente que descreve as linhas de escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo de velocidade u = partial phipartial x e v = partial phipartial y em termos do potencial de velocidade é dado pelas derivadas parciais:
Vamos calcular essas derivadas usando a expressão de .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de u = partial phipartial x = partialpartial x ( A x + B x^2 - B y^2 ) = A + 2B x em relação a v = partial phipartial y = partialpartial y ( A x + B x^2 - B y^2 ) = -2B y para encontrar :
Agora, calculando a derivada parcial de em relação a para encontrar :

Passo 4

Agora que temos as componentes da velocidade, vamos encontrar a função corrente u = partial psipartial y e v = -partial psipartial x . A função corrente está relacionada ao campo de velocidade pelas seguintes relações:
psi = integral (A + 2B x) , dy = (A + 2B x) y + f(x)
Vamos integrar para encontrar partial psipartial x = 2B y + f'(x) = -v = 2B y .
Primeiro, integramos psi = (A + 2B x) y em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos considerar zero. Assim, a função corrente é:

Resposta

O campo de velocidade é dado por:
u = A + 2B x e v = -2B y
E a função corrente é:
psi = (A + 2B x) y

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