Considere o escoamento de água onde o campo de escoamento pode ser representado pelo potencial de velocidade , onde , e as coordenadas são medidas em metros.
© Obtenha expressões para o campo de velocidade e a função corrente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o campo de velocidade e a função corrente para um escoamento de água descrito pelo potencial de velocidade . Isso está relacionado à Mecânica dos Fluidos, mais especificamente ao estudo de escoamentos potenciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais do potencial de velocidade para obter as componentes da velocidade e depois encontrar a função corrente que descreve as linhas de escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo de velocidade em termos do potencial de velocidade é dado pelas derivadas parciais:
Vamos calcular essas derivadas usando a expressão de .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a para encontrar :
Agora, calculando a derivada parcial de em relação a para encontrar :

Passo 4

Agora que temos as componentes da velocidade, vamos encontrar a função corrente . A função corrente está relacionada ao campo de velocidade pelas seguintes relações:
Vamos integrar para encontrar .
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos considerar zero. Assim, a função corrente é:

Resposta

O campo de velocidade é dado por:
E a função corrente é:

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d) 50 in
Considere
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