Questão: A temperatura e o número de Mach antes de um choque oblíquo são T1=288 K e M1=2,75, respectivamente, e a razão de pressões através do choque é de 4,5. Determine o ângulo de deflexão do escoamento theta, o ângulo de choque oblíquo
beta e o número de Mach após o choque M2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de choque oblíquo, que faz parte da área de dinâmica dos gases compressíveis. O enunciado nos dá a temperatura inicial , o número de Mach antes do choque e a razão de pressões através do choque . A gente precisa encontrar:
  1. O ângulo de deflexão do escoamento
  2. O ângulo de choque oblíquo
  3. O número de Mach após o choque
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um choque oblíquo, o número de Mach e o ângulo do choque estão relacionados. Para resolver isso, vamos usar a equação da razão de pressões em choques oblíquos:
p2p1 = 1 + 2gammagamma + 1 (M1^2 sin^2 beta - 1)
Onde:
  • é a razão de calores específicos, que é 1,4 para o ar.
  • é o ângulo de choque oblíquo que queremos encontrar.
Vamos substituir os valores que temos na equação para resolver .

Passo 3

Substituindo os valores na equação:
4,5 = 1 + 2 times 1,41,4 + 1 (2,75^2 sin^2 beta - 1)
Vamos calcular os termos passo a passo:
Primeiro, calcule 2,82,4 = 1,1667 :
4,5 = 1 + 1,1667 (7,5625 sin^2 beta - 1)
Agora, a equação fica:
3,5 = 1,1667 (7,5625 sin^2 beta - 1)
Subtraindo 1 de ambos os lados:
3,5 / 1,1667 approx 3
Dividindo ambos os lados por 1,1667:
3 = 7,5625 sin^2 beta - 1
Então:
4 = 7,5625 sin^2 beta
Somando 1 a ambos os lados:
sin^2 beta = 47,5625 approx 0,5294
Dividindo por 7,5625:
sin beta approx raiz0,5294 approx 0,7272
Tirando a raiz quadrada:
beta = arcsin(0,7272) approx 47,4^circ
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora que encontramos o ângulo de choque oblíquo tan theta = 2 cot beta (M1^2 sin^2 beta - 1M1^2 (gamma + cos 2beta) + 2) , vamos determinar o ângulo de deflexão cot 47,4^circ approx 1,09 . Para isso, usamos a relação entre 2,75^2 times 0,5294 - 1 approx 4,03 - 1 = 3,03 , 2,75^2 times (1,4 - 0,0785) + 2 approx 7,5625 times 1,3215 + 2 approx 9,998 + 2 = 11,998 e tan theta = 2 times 1,09 times 3,0311,998 approx 2,18 times 0,2525 approx 0,55 :
theta = arctan(0,55) approx 28,8^circ
Vamos calcular cada parte dessa equação:
Primeiro, calcule que é :
Agora, calcule :
Em seguida, calcule :
Primeiro,
Então:
Agora, substituindo na equação da tangente:
Finalmente, tiramos a tangente inversa para encontrar :

Passo 5

Por último, vamos encontrar o número de Mach após o choque M2 = M1 sin betasin(beta - theta) . A relação para M2 = 2,75 times sin 47,4^circsin(47,4^circ - 28,8^circ) = 2,75 times 0,7272sin 18,6^circ em choques oblíquos é:
2,75 times 0,7272 approx 2,0
Vamos substituir os valores que já temos:
sin 18,6^circ approx 0,319
Calculando cada parte:
M2 = 2,00,319 approx 6,27
M2 = M1 sin betasin(beta - theta) raiz 1 + gamma -12 M1^2 sin^2 betagamma M1^2 sin^2 beta - gamma -12
Então:
1M2^2 = (gamma + 1) M1^2 sin^2 beta 2 + (gamma -1) M1^2 sin^2 beta
No entanto, esse valor parece muito alto para um Mach pós-choque. Vamos verificar as relações:
Na verdade, após um choque oblíquo, o número de Mach pós-choque geralmente é menor que o pré-choque. Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer com mais cuidado.
Voltando à fórmula correta para 1M2^2 = (1,4 + 1) times 2,75^2 times 0,52942 + (1,4 - 1) times 2,75^2 times 0,5294 em choque oblíquo:
1M2^2 = 2,4 times 7,5625 times 0,52942 + 0,4 times 7,5625 times 0,5294
Considerando a complexidade, vamos usar a relação simplificada para 1M2^2 = 9,62 + 1,6 = 9,63,6 approx 2,6667 :
M2^2 = 12,6667 approx 0,375
Substituindo os valores:
M2 approx raiz0,375 approx 0,612
Calculando passo a passo:
Então:

Resposta

Então, os valores encontrados são:
  • Ângulo de deflexão do escoamento
  • Ângulo de choque oblíquo
  • Número de Mach após o choque

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