Questão: A temperatura e o número de Mach antes de um choque oblíquo são , respectivamente, e a razão de pressões através do choque é de 4,5. Determine o ângulo de deflexão do escoamento , o ângulo de choque oblíquo e o número de Mach após o choque .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de choque oblíquo, que faz parte da área de dinâmica dos gases compressíveis. O enunciado nos dá a temperatura inicial , o número de Mach antes do choque e a razão de pressões através do choque . A gente precisa encontrar:
O ângulo de deflexão do escoamento
O ângulo de choque oblíquo
O número de Mach após o choque
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um choque oblíquo, o número de Mach e o ângulo do choque estão relacionados. Para resolver isso, vamos usar a equação da razão de pressões em choques oblíquos:
Onde:
é a razão de calores específicos, que é 1,4 para o ar.
é o ângulo de choque oblíquo que queremos encontrar.
Vamos substituir os valores que temos na equação para resolver .
Passo 3
Substituindo os valores na equação:
Vamos calcular os termos passo a passo:
Primeiro, calcule :
Agora, a equação fica:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 1,1667:
Então:
Somando 1 a ambos os lados:
Dividindo por 7,5625:
Tirando a raiz quadrada:
Agora, calculamos :
Passo 4
Agora que encontramos o ângulo de choque oblíquo , vamos determinar o ângulo de deflexão . Para isso, usamos a relação entre , e :
Vamos calcular cada parte dessa equação:
Primeiro, calcule que é :
Agora, calcule :
Em seguida, calcule :
Primeiro,
Então:
Agora, substituindo na equação da tangente:
Finalmente, tiramos a tangente inversa para encontrar :
Passo 5
Por último, vamos encontrar o número de Mach após o choque . A relação para em choques oblíquos é:
Vamos substituir os valores que já temos:
Calculando cada parte:
Então:
No entanto, esse valor parece muito alto para um Mach pós-choque. Vamos verificar as relações:
Na verdade, após um choque oblíquo, o número de Mach pós-choque geralmente é menor que o pré-choque. Parece que houve um erro nos cálculos. Vamos refazer com mais cuidado.
Voltando à fórmula correta para em choque oblíquo:
Considerando a complexidade, vamos usar a relação simplificada para :