As componentes de tensão associadas a um sistema em um certo ponto de um dente de engrenagem são conhecidas e dadas por:
Obtenha o valor da tensão normal associada à direção neste mesmo ponto.
Passo 1
Então, temos um exercício de Mecânica dos Materiais, mais especificamente sobre tensões em um ponto de uma engrenagem. A gente sabe as componentes da tensão no sistema e precisa encontrar a tensão normal na direção . Para isso, vamos usar a matriz de tensões e a direção do vetor fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é tensão normal. A tensão normal em uma direção específica é a componente da tensão que atua perpendicularmente à superfície nessa direção. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
é a tensão normal na direção .
é o vetor unitário na direção considerada.
é a matriz de tensões.
Passo 3
Vamos verificar o vetor . Para usar a fórmula corretamente, precisamos que seja um vetor unitário, ou seja, que tenha norma 1. Vamos calcular a norma de :
Como a norma não é 1, precisamos normalizar o vetor dividindo cada componente pela norma:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da tensão normal com a matriz de tensões dada:
E o vetor .
Primeiro, vamos calcular :
Vamos calcular cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A tensão normal na direção dada é aproximadamente unidades de tensão.