As componentes de tensão associadas a um sistema (x, y, z) em um certo ponto de um dente de engrenagem são conhecidas e dadas por:
[sigma]=[ccc 200 & 40 & 0 40 & -120 & -80 0 & -80 & 0 ]
Obtenha o valor da tensão normal associada à direção n=lll0,1 & 0,35 & 0,9^T neste mesmo ponto.

Passo 1

Então, temos um exercício de Mecânica dos Materiais, mais especificamente sobre tensões em um ponto de uma engrenagem. A gente sabe as componentes da tensão no sistema (x, y, z) e precisa encontrar a tensão normal na direção n = 0,1 0,35 0,9. Para isso, vamos usar a matriz de tensões e a direção do vetor fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é tensão normal. A tensão normal em uma direção específica é a componente da tensão que atua perpendicularmente à superfície nessa direção. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
sigman = n^T cdot sigma cdot n
Onde:
  • sigman é a tensão normal na direção n.
  • n é o vetor unitário na direção considerada.
  • sigma é a matriz de tensões.

Passo 3

Vamos verificar o vetor n = 0,1 0,35 0,9. Para usar a fórmula corretamente, precisamos que n seja um vetor unitário, ou seja, que tenha norma 1. Vamos calcular a norma de n:
|n| = raiz0,1^2 + 0,35^2 + 0,9^2 = raiz0,01 + 0,1225 + 0,81 = raiz0,9425 approx 0,971
Como a norma não é 1, precisamos normalizar o vetor dividindo cada componente pela norma:
nunit = 10,971 0,1 0,35 0,9 approx 0,1031 0,3603 0,9276

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da tensão normal com a matriz de tensões dada:
sigma = 200 & 40 & 0 40 & -120 & -80 0 & -80 & 0
E o vetor nunit approx 0,1031 0,3603 0,9276.
Primeiro, vamos calcular sigma cdot nunit:
sigma cdot nunit = 200 & 40 & 0 40 & -120 & -80 0 & -80 & 0 0,1031 0,3603 0,9276 = 200 times 0,1031 + 40 times 0,3603 + 0 times 0,9276 40 times 0,1031 + (-120) times 0,3603 + (-80) times 0,9276 0 times 0,1031 + (-80) times 0,3603 + 0 times 0,9276
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
200 times 0,1031 = 20,62 40 times 0,3603 = 14,41 Total = 20,62 + 14,41 = 35,03
  1. Segunda componente:
40 times 0,1031 = 4,12 -120 times 0,3603 = -43,24 -80 times 0,9276 = -74,21 Total = 4,12 - 43,24 - 74,21 = -113,33
  1. Terceira componente:
-80 times 0,3603 = -28,82 Total = -28,82
Portanto,
sigma cdot nunit approx 35,03 -113,33 -28,82

Passo 5

Agora, vamos calcular nunit^T cdot (sigma cdot nunit):
nunit^T cdot 35,03 -113,33 -28,82 = 0,1031 times 35,03 + 0,3603 times (-113,33) + 0,9276 times (-28,82)
Vamos calcular cada termo:
  1. 0,1031 times 35,03 approx 3,61
  2. 0,3603 times (-113,33) approx -40,81
  3. 0,9276 times (-28,82) approx -26,74
Somando tudo:
3,61 - 40,81 - 26,74 approx -64,94

Resposta

A tensão normal na direção dada é aproximadamente -64,94 unidades de tensão.

Exercícios relacionados