As componentes de tensão associadas a um sistema em um certo ponto de um dente de engrenagem são conhecidas e dadas por:
Obtenha o valor da tensão normal associada à direção neste mesmo ponto.

Passo 1

Então, temos um exercício de Mecânica dos Materiais, mais especificamente sobre tensões em um ponto de uma engrenagem. A gente sabe as componentes da tensão no sistema e precisa encontrar a tensão normal na direção . Para isso, vamos usar a matriz de tensões e a direção do vetor fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é tensão normal. A tensão normal em uma direção específica é a componente da tensão que atua perpendicularmente à superfície nessa direção. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é a tensão normal na direção .
  • é o vetor unitário na direção considerada.
  • é a matriz de tensões.

Passo 3

Vamos verificar o vetor . Para usar a fórmula corretamente, precisamos que seja um vetor unitário, ou seja, que tenha norma 1. Vamos calcular a norma de :
Como a norma não é 1, precisamos normalizar o vetor dividindo cada componente pela norma:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da tensão normal com a matriz de tensões dada:
E o vetor .
Primeiro, vamos calcular :
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Resposta

A tensão normal na direção dada é aproximadamente unidades de tensão.

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