Os seguintes estados de tensão foram medidos em quatro pontos do barramento de uma máquina ferramenta. Determine as tensões principais, tensão cisalhante máxima e o ângulo que as direções
principais faz com o eixo escolhido. Ilustre seus resultados com um círculo de Mohr.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para a gente encontrar as tensões principais, a tensão cisalhante máxima e o ângulo das direções principais em relação ao eixo x para quatro pontos diferentes de um barramento de uma máquina ferramenta. Para resolver isso, vamos usar a teoria das tensões principais e o Círculo de Mohr. Vamos precisar aplicar algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores para cada ponto A, B, C e D.

Passo 2

Vamos começar pelo ponto A. As tensões nesse ponto são dadas pela matriz:
Aqui, MPa, MPa e MPa.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as tensões principais ( e ) usando as fórmulas:
Substituindo os valores do ponto A:
Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a tensão cisalhante máxima ( ). A fórmula para isso é:
Substituindo os valores do ponto A:

Passo 5

Para encontrar o ângulo ( ) que as direções principais fazem com o eixo x, usamos a fórmula:
Substituindo os valores do ponto A:
Então,
Dividindo por 2:
Isso significa que a direção principal está inclinada aproximadamente em relação ao eixo x.

Passo 6

Vamos repetir esses passos para os demais pontos B, C e D:
Ponto B:
  • MPa, MPa, MPa
  • Tensões principais:
Então,
  • Tensão cisalhante máxima:
  • Ângulo:
Ponto C:
  • MPa, MPa, MPa
  • Tensões principais:
Então,
  • Tensão cisalhante máxima:
  • Ângulo:
Ponto D:
  • MPa, MPa, MPa
  • Tensões principais:
Então,
  • Tensão cisalhante máxima:
  • Ângulo:

Resposta

Resumindo os resultados para cada ponto:
  • Ponto A:
    • Tensões principais: MPa e MPa
    • Tensão cisalhante máxima: MPa
    • Ângulo das direções principais: em relação ao eixo x
  • Ponto B:
    • Tensões principais: MPa e MPa
    • Tensão cisalhante máxima: MPa
    • Ângulo das direções principais: em relação ao eixo x
  • Ponto C:
    • Tensões principais: MPa e MPa
    • Tensão cisalhante máxima: MPa
    • Ângulo das direções principais: em relação ao eixo x
  • Ponto D:
    • Tensões principais: MPa e MPa
    • Tensão cisalhante máxima: MPa
    • Ângulo das direções principais: em relação ao eixo x
Além disso, todos esses resultados podem ser ilustrados usando um Círculo de Mohr, que ajuda a visualizar as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas para cada ponto analisado.

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