Os seguintes estados de tensão foram medidos em quatro pontos do barramento de uma máquina ferramenta. Determine as tensões principais, tensão cisalhante máxima e o ângulo que as direções
principais faz com o eixo
escolhido. Ilustre seus resultados com um círculo de Mohr.
principais faz com o eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para a gente encontrar as tensões principais, a tensão cisalhante máxima e o ângulo das direções principais em relação ao eixo x para quatro pontos diferentes de um barramento de uma máquina ferramenta. Para resolver isso, vamos usar a teoria das tensões principais e o Círculo de Mohr. Vamos precisar aplicar algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores para cada ponto A, B, C e D.
Passo 2
Vamos começar pelo ponto A. As tensões nesse ponto são dadas pela matriz:
Aqui,
MPa,
MPa e
MPa.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as tensões principais (
e
) usando as fórmulas:
Substituindo os valores do ponto A:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a tensão cisalhante máxima (
). A fórmula para isso é:
Substituindo os valores do ponto A:
Passo 5
Para encontrar o ângulo (
) que as direções principais fazem com o eixo x, usamos a fórmula:
Substituindo os valores do ponto A:
Então,
Dividindo por 2:
Isso significa que a direção principal está inclinada aproximadamente
em relação ao eixo x.
Passo 6
Vamos repetir esses passos para os demais pontos B, C e D:
Ponto B:
-
MPa, MPa, MPa - Tensões principais:
Então,
- Tensão cisalhante máxima:
- Ângulo:
Ponto C:
-
MPa, MPa, MPa - Tensões principais:
Então,
- Tensão cisalhante máxima:
- Ângulo:
Ponto D:
-
MPa, MPa, MPa - Tensões principais:
Então,
- Tensão cisalhante máxima:
- Ângulo:
Resposta
Resumindo os resultados para cada ponto:
-
Ponto A:
- Tensões principais:
MPa e MPa - Tensão cisalhante máxima:
MPa - Ângulo das direções principais:
em relação ao eixo x
- Tensões principais:
-
Ponto B:
- Tensões principais:
MPa e MPa - Tensão cisalhante máxima:
MPa - Ângulo das direções principais:
em relação ao eixo x
- Tensões principais:
-
Ponto C:
- Tensões principais:
MPa e MPa - Tensão cisalhante máxima:
MPa - Ângulo das direções principais:
em relação ao eixo x
- Tensões principais:
-
Ponto D:
- Tensões principais:
MPa e MPa - Tensão cisalhante máxima:
MPa - Ângulo das direções principais:
em relação ao eixo x
- Tensões principais:
Além disso, todos esses resultados podem ser ilustrados usando um Círculo de Mohr, que ajuda a visualizar as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas para cada ponto analisado.