Os seguintes estados de tensão foram medidos em quatro pontos do barramento de uma máquina ferramenta. Determine as tensões principais, tensão cisalhante máxima e o ângulo que as direções
principais faz com o eixo x escolhido. Ilustre seus resultados com um círculo de Mohr.
& [sigma]A=[ll 120 & -60 -60 & -40 ] [MPa] & [sigma]B=[cc -160 & 50 50 & -80 ] [MPa] & [sigma]C=[cc -180 & 70 70 & 300 ] [MPa] & [sigma]D=[cc 0 & 75 75 & -20 ] [MPa]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para a gente encontrar as tensões principais, a tensão cisalhante máxima e o ângulo das direções principais em relação ao eixo x para quatro pontos diferentes de um barramento de uma máquina ferramenta. Para resolver isso, vamos usar a teoria das tensões principais e o Círculo de Mohr. Vamos precisar aplicar algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores para cada ponto A, B, C e D.

Passo 2

Vamos começar pelo ponto A. As tensões nesse ponto são dadas pela matriz:
[sigma]A= 120 & -60 -60 & -40 [MPa]
Aqui, sigmax = 120 MPa, sigmay = -40 MPa e tauxy = -60 MPa.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as tensões principais ( sigma1 e sigma2) usando as fórmulas:
sigma1,2 = sigmax + sigmay2 pm raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
Substituindo os valores do ponto A:
sigma1,2 = 120 + (-40)2 pm raiz(120 - (-40)2)^2 + (-60)^2
sigma1,2 = 802 pm raiz(1602)^2 + 3600
sigma1,2 = 40 pm raiz80^2 + 3600 = 40 pm raiz6400 + 3600 = 40 pm raiz10000 = 40 pm 100
Então:
sigma1 = 140 MPa e sigma2 = -60 MPa

Passo 4

Agora, vamos encontrar a tensão cisalhante máxima ( taumax). A fórmula para isso é:
taumax = raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
Substituindo os valores do ponto A:
taumax = raiz(120 - (-40)2)^2 + (-60)^2 = raiz80^2 + 3600 = raiz6400 + 3600 = raiz10000 = 100 MPa

Passo 5

Para encontrar o ângulo ( theta) que as direções principais fazem com o eixo x, usamos a fórmula:
tan(2theta) = 2tauxysigmax - sigmay
Substituindo os valores do ponto A:
tan(2theta) = 2 times (-60)120 - (-40) = -120160 = -0.75
Então,
2theta = arctan(-0.75) approx -36.87^circ
Dividindo por 2:
theta approx -18.43^circ
Isso significa que a direção principal está inclinada aproximadamente -18.43^circ em relação ao eixo x.

Passo 6

Vamos repetir esses passos para os demais pontos B, C e D:
Ponto B:
[sigma]B= -160 & 50 50 & -80 [MPa]
  • sigmax = -160 MPa, sigmay = -80 MPa, tauxy = 50 MPa
  • Tensões principais:
sigma1,2 = -160 + (-80)2 pm raiz(-160 - (-80)2)^2 + 50^2 = -120 pm raiz40^2 + 2500 = -120 pm raiz1600 + 2500 = -120 pm raiz4100 approx -120 pm 64.03
Então,
sigma1 approx -55.97 MPa e sigma2 approx -184.03 MPa
  • Tensão cisalhante máxima:
taumax = raiz40^2 + 50^2 = raiz1600 + 2500 = raiz4100 approx 64.03 MPa
  • Ângulo:
tan(2theta) = 2 times 50-160 - (-80) = 100-80 = -1.25
2theta approx arctan(-1.25) approx -51.34^circ Rightarrow theta approx -25.67^circ
Ponto C:
[sigma]C= -180 & 70 70 & 300 [MPa]
  • sigmax = -180 MPa, sigmay = 300 MPa, tauxy = 70 MPa
  • Tensões principais:
sigma1,2 = -180 + 3002 pm raiz(-180 - 3002)^2 + 70^2 = 60 pm raiz(-240)^2 + 4900 = 60 pm raiz57600 + 4900 = 60 pm raiz62500 = 60 pm 250
Então,
sigma1 = 310 MPa e sigma2 = -190 MPa
  • Tensão cisalhante máxima:
taumax = raiz(-240)^2 + 70^2 = raiz57600 + 4900 = raiz62500 = 250 MPa
  • Ângulo:
tan(2theta) = 2 times 70-180 - 300 = 140-480 = -0.2917
2theta approx arctan(-0.2917) approx -16.23^circ Rightarrow theta approx -8.12^circ
Ponto D:
[sigma]D= 0 & 75 75 & -20 [MPa]
  • sigmax = 0 MPa, sigmay = -20 MPa, tauxy = 75 MPa
  • Tensões principais:
sigma1,2 = 0 + (-20)2 pm raiz(0 - (-20)2)^2 + 75^2 = -10 pm raiz10^2 + 5625 = -10 pm raiz100 + 5625 = -10 pm raiz5725 approx -10 pm 75.68
Então,
sigma1 approx 65.68 MPa e sigma2 approx -85.68 MPa
  • Tensão cisalhante máxima:
taumax = raiz10^2 + 75^2 = raiz100 + 5625 = raiz5725 approx 75.68 MPa
  • Ângulo:
tan(2theta) = 2 times 750 - (-20) = 15020 = 7.5
2theta approx arctan(7.5) approx 82.44^circ Rightarrow theta approx 41.22^circ

Resposta

Resumindo os resultados para cada ponto:
  • Ponto A:
    • Tensões principais: sigma1 = 140 MPa e sigma2 = -60 MPa
    • Tensão cisalhante máxima: 100 MPa
    • Ângulo das direções principais: -18.43^circ em relação ao eixo x
  • Ponto B:
    • Tensões principais: sigma1 approx -55.97 MPa e sigma2 approx -184.03 MPa
    • Tensão cisalhante máxima: 64.03 MPa
    • Ângulo das direções principais: -25.67^circ em relação ao eixo x
  • Ponto C:
    • Tensões principais: sigma1 = 310 MPa e sigma2 = -190 MPa
    • Tensão cisalhante máxima: 250 MPa
    • Ângulo das direções principais: -8.12^circ em relação ao eixo x
  • Ponto D:
    • Tensões principais: sigma1 approx 65.68 MPa e sigma2 approx -85.68 MPa
    • Tensão cisalhante máxima: 75.68 MPa
    • Ângulo das direções principais: 41.22^circ em relação ao eixo x
Além disso, todos esses resultados podem ser ilustrados usando um Círculo de Mohr, que ajuda a visualizar as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas para cada ponto analisado.

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