Os seguintes estados de tensão foram medidos em quatro pontos do barramento de uma máquina ferramenta. Determine as tensões principais, tensão cisalhante máxima e o ângulo que as direções
principais faz com o eixo escolhido. Ilustre seus resultados com um círculo de Mohr.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para a gente encontrar as tensões principais, a tensão cisalhante máxima e o ângulo das direções principais em relação ao eixo x para quatro pontos diferentes de um barramento de uma máquina ferramenta. Para resolver isso, vamos usar a teoria das tensões principais e o Círculo de Mohr. Vamos precisar aplicar algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores para cada ponto A, B, C e D.
Passo 2
Vamos começar pelo ponto A. As tensões nesse ponto são dadas pela matriz:
Aqui, MPa, MPa e MPa.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as tensões principais ( e ) usando as fórmulas:
Substituindo os valores do ponto A:
Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a tensão cisalhante máxima (). A fórmula para isso é:
Substituindo os valores do ponto A:
Passo 5
Para encontrar o ângulo () que as direções principais fazem com o eixo x, usamos a fórmula:
Substituindo os valores do ponto A:
Então,
Dividindo por 2:
Isso significa que a direção principal está inclinada aproximadamente em relação ao eixo x.
Passo 6
Vamos repetir esses passos para os demais pontos B, C e D:
Ponto B:
MPa, MPa, MPa
Tensões principais:
Então,
Tensão cisalhante máxima:
Ângulo:
Ponto C:
MPa, MPa, MPa
Tensões principais:
Então,
Tensão cisalhante máxima:
Ângulo:
Ponto D:
MPa, MPa, MPa
Tensões principais:
Então,
Tensão cisalhante máxima:
Ângulo:
Resposta
Resumindo os resultados para cada ponto:
Ponto A:
Tensões principais: MPa e MPa
Tensão cisalhante máxima: MPa
Ângulo das direções principais: em relação ao eixo x
Ponto B:
Tensões principais: MPa e MPa
Tensão cisalhante máxima: MPa
Ângulo das direções principais: em relação ao eixo x
Ponto C:
Tensões principais: MPa e MPa
Tensão cisalhante máxima: MPa
Ângulo das direções principais: em relação ao eixo x
Ponto D:
Tensões principais: MPa e MPa
Tensão cisalhante máxima: MPa
Ângulo das direções principais: em relação ao eixo x
Além disso, todos esses resultados podem ser ilustrados usando um Círculo de Mohr, que ajuda a visualizar as tensões principais e as tensões de cisalhamento máximas para cada ponto analisado.