Seja uma placa sob o seguinte estado plano de tensões:
[sigma]=[cc 15 & 7 7 & 30 ] [MPa]
Utilizando as fórmulas de transformação de tensões dadas em aula, calcule as componentes para um sistema de coordenadas (x^prime, y^prime) rotacionado de 30^circ a partir do eixo x, no sentído horário. Repita o exercício montando uma matriz de mudança de base e aplicando sobre [sigma].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma matriz de tensões para uma placa e pede para calcular as componentes das tensões em um novo sistema de coordenadas que está rotacionado 30 graus a partir do eixo , no sentido horário. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de transformação de tensões e também a matriz de mudança de base. Vamos por partes para entender tudo certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz de tensões dada:
[sigma]=[cc 15 & 7 7 & 30 ] [MPa]
Aqui, os números dentro da matriz representam as componentes das tensões no sistema original . A diagonal principal ( MPa e MPa) representa as tensões normais, enquanto os valores fora da diagonal ( MPa) são as tensões de cisalhamento.

Passo 3

Agora, vamos utilizar as fórmulas de transformação de tensões para encontrar as componentes no sistema rotacionado sigmax' &= sigmax cos^2theta + sigmay sin^2theta + 2tauxy sintheta costheta sigmay' &= sigmax sin^2theta + sigmay cos^2theta - 2tauxy sintheta costheta taux'y' &= (sigmay - sigmax) sintheta costheta + tauxy (cos^2theta - sin^2theta) . A rotação é de no sentido horário. As fórmulas que vamos usar são:
Essas fórmulas nos permitem calcular como as tensões mudam quando a placa é rotacionada.

Passo 4

Vamos calcular cada componente uma a uma. Primeiro, precisamos converter o ângulo para radianos ou usar diretamente os valores dos cossenos e senos de cos 30^circ = raiz32 approx 0,8660 sin 30^circ = 12 = 0,5 :

Passo 5

Calculando sigmax' &= 15 cdot (0,8660)^2 + 30 cdot (0,5)^2 + 2 cdot 7 cdot 0,5 cdot 0,8660 &= 15 cdot 0,7498 + 30 cdot 0,25 + 2 cdot 7 cdot 0,4330 &= 11,247 + 7,5 + 6,082 &= 24,829 MPa :

Passo 6

Calculando sigmay' &= 15 cdot (0,5)^2 + 30 cdot (0,8660)^2 - 2 cdot 7 cdot 0,5 cdot 0,8660 &= 15 cdot 0,25 + 30 cdot 0,7498 - 2 cdot 7 cdot 0,4330 &= 3,75 + 22,494 - 6,082 &= 20,162 MPa :

Passo 7

Calculando taux'y' &= (30 - 15) cdot 0,5 cdot 0,8660 + 7 cdot (0,8660^2 - 0,5^2) &= 15 cdot 0,4330 + 7 cdot (0,7498 - 0,25) &= 6,495 + 7 cdot 0,4998 &= 6,495 + 3,4986 &= 10,9936 MPa :

Passo 8

Agora, temos as componentes das tensões no sistema rotacionado usando as fórmulas de transformação:
[sigma'] = [cc 24,829 & 10,994 10,994 & 20,162 ] [MPa]

Passo 9

Vamos agora resolver o mesmo exercício usando a matriz de mudança de base. Primeiro, precisamos construir a matriz de rotação R = [cc costheta & sintheta -sintheta & costheta ] = [cc 0,8660 & 0,5 -0,5 & 0,8660 ] para um ângulo de :

Passo 10

A matriz de tensões no novo sistema é dada por:
[sigma'] = R [sigma] R^T
Onde R^T = [cc 0,8660 & -0,5 0,5 & 0,8660 ] é a transposta de :

Passo 11

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, calculamos R [sigma] = [cc 0,8660 & 0,5 -0,5 & 0,8660 ] [cc 15 & 7 7 & 30 ] = [cc 0,8660 cdot 15 + 0,5 cdot 7 & 0,8660 cdot 7 + 0,5 cdot 30 -0,5 cdot 15 + 0,8660 cdot 7 & -0,5 cdot 7 + 0,8660 cdot 30 ] :
& 0,8660 cdot 15 + 0,5 cdot 7 = 12,99 + 3,5 = 16,49 & 0,8660 cdot 7 + 0,5 cdot 30 = 6,062 + 15 = 21,062 & -0,5 cdot 15 + 0,8660 cdot 7 = -7,5 + 6,062 = -1,438 & -0,5 cdot 7 + 0,8660 cdot 30 = -3,5 + 25,98 = 22,48
Calculando cada elemento:
R [sigma] = [cc 16,49 & 21,062 -1,438 & 22,48 ]
Então,

Passo 12

Agora, multiplicamos o resultado por [sigma'] = [cc 16,49 & 21,062 -1,438 & 22,48 ] [cc 0,8660 & -0,5 0,5 & 0,8660 ] :
& 16,49 cdot 0,8660 + 21,062 cdot 0,5 = 14,28 + 10,531 = 24,811 & 16,49 cdot (-0,5) + 21,062 cdot 0,8660 = -8,245 + 18,248 = 10,003 & -1,438 cdot 0,8660 + 22,48 cdot 0,5 = -1,243 + 11,24 = 10,0 & -1,438 cdot (-0,5) + 22,48 cdot 0,8660 = 0,719 + 19,468 = 20,187
Calculando cada elemento:
[sigma'] = [cc 24,811 & 10,003 10,0 & 20,187 ] [MPa]
Então,

Resposta

As componentes das tensões no sistema de coordenadas rotacionado [sigma'] = [cc 24,83 & 10,00 10,00 & 20,16 ] [MPa] de são aproximadamente:
Essas componentes foram calculadas tanto usando as fórmulas de transformação de tensões quanto pela matriz de mudança de base, e os resultados são consistentes entre os dois métodos.

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