Seja uma placa sob o seguinte estado plano de tensões:
Utilizando as fórmulas de transformação de tensões dadas em aula, calcule as componentes para um sistema de coordenadas
rotacionado de
a partir do eixo
, no sentído horário. Repita o exercício montando uma matriz de mudança de base e aplicando sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma matriz de tensões para uma placa e pede para calcular as componentes das tensões em um novo sistema de coordenadas que está rotacionado 30 graus a partir do eixo
, no sentido horário. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de transformação de tensões e também a matriz de mudança de base. Vamos por partes para entender tudo certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a matriz de tensões dada:
Aqui, os números dentro da matriz representam as componentes das tensões no sistema original
. A diagonal principal (
MPa e
MPa) representa as tensões normais, enquanto os valores fora da diagonal (
MPa) são as tensões de cisalhamento.
Passo 3
Agora, vamos utilizar as fórmulas de transformação de tensões para encontrar as componentes no sistema rotacionado
. A rotação é de
no sentido horário. As fórmulas que vamos usar são:
Essas fórmulas nos permitem calcular como as tensões mudam quando a placa é rotacionada.
Passo 4
Vamos calcular cada componente uma a uma. Primeiro, precisamos converter o ângulo para radianos ou usar diretamente os valores dos cossenos e senos de
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Agora, temos as componentes das tensões no sistema rotacionado usando as fórmulas de transformação:
Passo 9
Vamos agora resolver o mesmo exercício usando a matriz de mudança de base. Primeiro, precisamos construir a matriz de rotação
para um ângulo de
:
Passo 10
A matriz de tensões no novo sistema é dada por:
Onde
é a transposta de
:
Passo 11
Vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, calculamos
:
Calculando cada elemento:
Então,
Passo 12
Agora, multiplicamos o resultado por
:
Calculando cada elemento:
Então,
Resposta
As componentes das tensões no sistema de coordenadas rotacionado
de
são aproximadamente:
Essas componentes foram calculadas tanto usando as fórmulas de transformação de tensões quanto pela matriz de mudança de base, e os resultados são consistentes entre os dois métodos.