Seja uma placa sob o seguinte estado plano de tensões:
Utilizando as fórmulas de transformação de tensões dadas em aula, calcule as componentes para um sistema de coordenadas rotacionado de a partir do eixo , no sentído horário. Repita o exercício montando uma matriz de mudança de base e aplicando sobre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma matriz de tensões para uma placa e pede para calcular as componentes das tensões em um novo sistema de coordenadas que está rotacionado 30 graus a partir do eixo , no sentido horário. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de transformação de tensões e também a matriz de mudança de base. Vamos por partes para entender tudo certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a matriz de tensões dada:
Aqui, os números dentro da matriz representam as componentes das tensões no sistema original . A diagonal principal ( MPa e MPa) representa as tensões normais, enquanto os valores fora da diagonal ( MPa) são as tensões de cisalhamento.

Passo 3

Agora, vamos utilizar as fórmulas de transformação de tensões para encontrar as componentes no sistema rotacionado . A rotação é de no sentido horário. As fórmulas que vamos usar são:
Essas fórmulas nos permitem calcular como as tensões mudam quando a placa é rotacionada.

Passo 4

Vamos calcular cada componente uma a uma. Primeiro, precisamos converter o ângulo para radianos ou usar diretamente os valores dos cossenos e senos de :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Agora, temos as componentes das tensões no sistema rotacionado usando as fórmulas de transformação:

Passo 9

Vamos agora resolver o mesmo exercício usando a matriz de mudança de base. Primeiro, precisamos construir a matriz de rotação para um ângulo de :

Passo 10

A matriz de tensões no novo sistema é dada por:
Onde é a transposta de :

Passo 11

Vamos multiplicar as matrizes passo a passo. Primeiro, calculamos :
Calculando cada elemento:
Então,

Passo 12

Agora, multiplicamos o resultado por :
Calculando cada elemento:
Então,

Resposta

As componentes das tensões no sistema de coordenadas rotacionado de são aproximadamente:
Essas componentes foram calculadas tanto usando as fórmulas de transformação de tensões quanto pela matriz de mudança de base, e os resultados são consistentes entre os dois métodos.

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