Observa-se que uma barra de de comprimento e de diâmetro, feita de um material homogêneo e isotrópico, aumenta no comprimento em , e diminui no diâmetro em quando submetida a uma força axial de . Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma barra com 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro que, quando aplica uma força axial de 12 kN, alonga 300 mm e diminui o diâmetro em 2,4 mm. Nosso objetivo é descobrir duas coisas importantes sobre o material dessa barra: o módulo de elasticidade (E) e o coeficiente de Poisson (ν). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensão, deformação e como essas grandezas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da barra, que é essencial para determinar a tensão. A área de um círculo (que é a seção transversal da barra) é dada pela fórmula:
Onde:
é o diâmetro da barra.
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos calcular a tensão axial () que está sendo aplicada na barra. A tensão é definida como a força dividida pela área:
Onde:
é a força aplicada (12 kN = 12000 N).
Substituindo os valores:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a deformação axial () da barra. A deformação é a variação no comprimento dividida pelo comprimento original:
Onde:
é o aumento no comprimento (300 mm).
é o comprimento original (500 mm).
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo de elasticidade (). Ele relaciona a tensão com a deformação axial e é dado por:
Substituindo os valores que já calculamos:
Como , temos:
Passo 6
Por último, vamos determinar o coeficiente de Poisson (). Esse coeficiente relaciona a deformação lateral com a deformação axial e é calculado por:
Onde:
é a deformação no diâmetro.
Primeiro, calculamos a deformação lateral:
Agora, substituímos na fórmula do coeficiente de Poisson:
Resposta
O módulo de elasticidade do material é aproximadamente 99,4 GPa e o coeficiente de Poisson é 0,25.