Observa-se que uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro, feita de um material homogêneo e isotrópico, aumenta no comprimento em 300 mm, e diminui no diâmetro em 2,4 mm quando submetida a uma força axial de 12 kN. Determine o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma barra com 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro que, quando aplica uma força axial de 12 kN, alonga 300 mm e diminui o diâmetro em 2,4 mm. Nosso objetivo é descobrir duas coisas importantes sobre o material dessa barra: o módulo de elasticidade (E) e o coeficiente de Poisson (ν). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensão, deformação e como essas grandezas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da barra, que é essencial para determinar a tensão. A área A = pi d^24 de um círculo (que é a seção transversal da barra) é dada pela fórmula:
A = pi times (16, mm)^24 = pi times 256, mm^24 = 64pi, mm^2 approx 201,06, mm^2
Onde:
  • é o diâmetro da barra.
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a tensão axial ( sigma = FA ) que está sendo aplicada na barra. A tensão é definida como a força dividida pela área:
sigma = 12000, N201,06, mm^2 approx 59,64, N/mm^2
Onde:
  • é a força aplicada (12 kN = 12000 N).
Substituindo os valores:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a deformação axial ( varepsilon = De) da barra. A deformação é a variação no comprimento dividida pelo comprimento original:
varepsilon = 300, mm500, mm = 0,6 (ou 60%)
Onde:
  • é o aumento no comprimento (300 mm).
  • é o comprimento original (500 mm).
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo de elasticidade ( E = sigmavarepsilon ). Ele relaciona a tensão com a deformação axial e é dado por:
E = 59,64, N/mm^20,6 approx 99,4, N/mm^2
Substituindo os valores que já calculamos:
E approx 99,4, GPa
Como , temos:

Passo 6

Por último, vamos determinar o coeficiente de Poisson ( nu = -varepsilonlateralvarepsilon ). Esse coeficiente relaciona a deformação lateral com a deformação axial e é calculado por:
varepsilonlateral = De
Onde:
  • nu = --0,150,6 = 0,25 é a deformação no diâmetro.
Primeiro, calculamos a deformação lateral:
Agora, substituímos na fórmula do coeficiente de Poisson:

Resposta

O módulo de elasticidade do material é aproximadamente 99,4 GPa e o coeficiente de Poisson é 0,25.

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