Mostre que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões, em coordenadas polares, são dadas por (desconsiderando-se as forças de corpo):
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado de tensões bidimensional, usando coordenadas polares, são aquelas que foram dadas. Isso envolve usar conceitos de estática e tensões em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as equações de equilíbrio e como expressar as tensões nesse sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das equações de equilíbrio em estática. Em duas dimensões, sem considerar forças de corpo, as equações de equilíbrio para as forças nas direções
e
são:
Aqui,
,
e
são os componentes do tensor de tensões.
Passo 3
Agora, como estamos trabalhando em coordenadas polares
, precisamos converter essas equações para esse sistema. As componentes das tensões em coordenadas polares são
,
e
.
Para fazer essa conversão, usamos as relações de transformação de coordenadas que adaptam as derivadas parciais e as componentes das tensões do sistema cartesiano para o polar.
Passo 4
As equações de equilíbrio em coordenadas polares ficam mais complicadas porque precisamos levar em conta termos que envolvem
e
. Após a transformação, as equações de equilíbrio para um estado de tensões bidimensional em coordenadas polares são:
Essas são exatamente as equações que a questão nos forneceu.
Resposta
Assim, mostramos que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões em coordenadas polares são: