Mostre que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões, em coordenadas polares, são dadas por (desconsiderando-se as forças de corpo):

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado de tensões bidimensional, usando coordenadas polares, são aquelas que foram dadas. Isso envolve usar conceitos de estática e tensões em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as equações de equilíbrio e como expressar as tensões nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de equilíbrio em estática. Em duas dimensões, sem considerar forças de corpo, as equações de equilíbrio para as forças nas direções e são:
Aqui, , e são os componentes do tensor de tensões.

Passo 3

Agora, como estamos trabalhando em coordenadas polares , precisamos converter essas equações para esse sistema. As componentes das tensões em coordenadas polares são , e .
Para fazer essa conversão, usamos as relações de transformação de coordenadas que adaptam as derivadas parciais e as componentes das tensões do sistema cartesiano para o polar.

Passo 4

As equações de equilíbrio em coordenadas polares ficam mais complicadas porque precisamos levar em conta termos que envolvem e . Após a transformação, as equações de equilíbrio para um estado de tensões bidimensional em coordenadas polares são:
Essas são exatamente as equações que a questão nos forneceu.

Resposta

Assim, mostramos que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões em coordenadas polares são:

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As componentes de tensão associadas a um sistema em um certo ponto de um dente de engrenagem são conhecidas e dadas por:
Obtenha o valor da tensão normal associada à direção neste mesmo ponto.
Seja uma placa sob o seguinte estado plano de tensões:
Utilizando as fórmulas de transformação de tensões dadas em aula, calcule as componentes para um sistema de coordenadas rotacionado de a partir do eixo , no sentído horário. Repita o exercício montando uma matriz de mudança de base e aplicando sobre .
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principais faz com o eixo escolhido. Ilustre seus resultados com um círculo de Mohr.
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