Mostre que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões, em coordenadas polares, são dadas por (desconsiderando-se as forças de corpo):
r partial sigmar rpartial r+1r partial sigmar thetapartial theta+sigmar r-sigmatheta thetar=0 partial sigmar thetapartial r+1r partial sigmatheta thetapartial theta+2 sigmar thetar=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado de tensões bidimensional, usando coordenadas polares, são aquelas que foram dadas. Isso envolve usar conceitos de estática e tensões em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as equações de equilíbrio e como expressar as tensões nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das equações de equilíbrio em estática. Em duas dimensões, sem considerar forças de corpo, as equações de equilíbrio para as forças nas direções partial sigmaxxpartial x + partial sigmaxypartial y = 0 e partial sigmaxypartial x + partial sigmayypartial y = 0 são:
Aqui, , e são os componentes do tensor de tensões.

Passo 3

Agora, como estamos trabalhando em coordenadas polares , precisamos converter essas equações para esse sistema. As componentes das tensões em coordenadas polares são , e .
Para fazer essa conversão, usamos as relações de transformação de coordenadas que adaptam as derivadas parciais e as componentes das tensões do sistema cartesiano para o polar.

Passo 4

As equações de equilíbrio em coordenadas polares ficam mais complicadas porque precisamos levar em conta termos que envolvem partial sigmarrpartial r + 1r partial sigmarthetapartial theta + sigmarr - sigmathetathetar = 0 e partial sigmarthetapartial r + 1r partial sigmathetathetapartial theta + 2sigmarthetar = 0 . Após a transformação, as equações de equilíbrio para um estado de tensões bidimensional em coordenadas polares são:
Essas são exatamente as equações que a questão nos forneceu.

Resposta

Assim, mostramos que as equações diferenciais de equilíbrio para um estado bidimensional de tensões em coordenadas polares são:
partial sigmarrpartial r + 1r partial sigmarthetapartial theta + sigmarr - sigmathetathetar = 0
partial sigmarthetapartial r + 1r partial sigmathetathetapartial theta + 2sigmarthetar = 0

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