A comporta A B C tem 4 m de largura e é articulada em B. Determinar o nível que a água deve atingir (altura h) para que a comporta abra automaticamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma comporta A B C com 4 metros de largura, articulada em B. A missão é descobrir qual a altura h da água precisa atingir para que a comporta abra sozinha. Vamos usar conceitos de estática dos fluidos e momentos de força para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a água exerce uma força sobre a comporta devido à pressão exercida pela coluna de água. A pressão da água aumenta com a profundidade, e essa pressão gera uma força total que atua em um ponto específico da comporta.

Passo 3

A pressão P da água em uma profundidade y é dada por:
P = rho cdot g cdot y
onde:
  • rho é a densidade da água (aproximadamente 1000, kg/m³³),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81, m/s²²),
  • y é a profundidade.

Passo 4

A força total F exercida pela água na comporta é a integral da pressão sobre a área da comporta. Para uma comporta vertical:
F = rho cdot g cdot h^22 cdot L
onde L é a largura da comporta (4 m) e h é a altura da água.

Passo 5

Essa força F age a uma distância h/3 do ponto de articulação B, que é o centro de pressão para uma parede vertical. O momento M causado por essa força é:
M = F cdot h3 = rho cdot g cdot h^22 cdot L cdot h3 = rho cdot g cdot L cdot h^36

Passo 6

Para que a comporta abra automaticamente, esse momento M precisa ser igual ao momento de força resistente causado pela estrutura da comporta. Supondo que a comporta comece a se mover quando M atinge um certo valor crítico Mc, temos:
rho cdot g cdot L cdot h^36 = Mc

Passo 7

Isolando h, temos:
h^3 = 6 cdot Mcrho cdot g cdot L
h = raiz[3]6 cdot Mcrho cdot g cdot L

Resposta

A altura da água necessária para que a comporta abra automaticamente é:
h = raiz[3]6 cdot Mcrho cdot g cdot 4

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