O comportamento da carga
em um circuito RC em série (Resistor - Capacitor) é dado pela EDO.
Busque um fator integrante para essa equação diferencial e encontre a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial que descreve como a carga
varia no tempo numa combinação de resistor e capacitor (circuito RC) em série. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as lineares de primeiro grau. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeiro grau, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a transformar a equação diferencial em algo que a gente consegue integrar facilmente. O fator integrante
é dado por:
Como
, a integral fica:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
A gente multiplica toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos a integração:
Então, temos:
Passo 6
Vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é a constante de integração que podemos determinar se tivermos uma condição inicial. Mas, como o exercício pede apenas a função geral, podemos deixá-la assim.
Resposta
A função que descreve a carga no circuito RC em função do tempo é:
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Um dos modelos de crescimento populacional mais conhecidos é do economista inglês Thomas Malthus, apresentado em 1798. O modelo malthusiano pressupõe que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. Matematicamente, se
é a população total no instante t, então, o modelo contínuo de Malthus é:
onde
é uma constante de crescimento. Determine a função
que descreve a população no instante
para esse modelo.
Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.
Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
© sujeito ao vínculo
;
©