O comportamento da carga
em um circuito RC em série (Resistor - Capacitor) é dado pela EDO.
Busque um fator integrante para essa equação diferencial e encontre a função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial que descreve como a carga
varia no tempo numa combinação de resistor e capacitor (circuito RC) em série. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as lineares de primeiro grau. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeiro grau, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a transformar a equação diferencial em algo que a gente consegue integrar facilmente. O fator integrante
é dado por:
Como
, a integral fica:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
A gente multiplica toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos a integração:
Então, temos:
Passo 6
Vamos isolar
dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é a constante de integração que podemos determinar se tivermos uma condição inicial. Mas, como o exercício pede apenas a função geral, podemos deixá-la assim.
Resposta
A função que descreve a carga no circuito RC em função do tempo é: