O comportamento da carga q em um circuito RC em série (Resistor - Capacitor) é dado pela EDO.
d q/d t + q/(R C) = V0/R
Busque um fator integrante para essa equação diferencial e encontre a função q = q(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação diferencial que descreve como a carga varia no tempo numa combinação de resistor e capacitor (circuito RC) em série. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as lineares de primeiro grau. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação que temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeiro grau, que tem a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a transformar a equação diferencial em algo que a gente consegue integrar facilmente. O fator integrante é dado por:
Como , a integral fica:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

A gente multiplica toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, fazemos a integração:
Então, temos:

Passo 6

Vamos isolar dividindo ambos os lados por :
Aqui, é a constante de integração que podemos determinar se tivermos uma condição inicial. Mas, como o exercício pede apenas a função geral, podemos deixá-la assim.

Resposta

A função que descreve a carga no circuito RC em função do tempo é:

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