Encontre a série de Fourier para as funções periódicas nos intervalos especificados.
f(x) = 1, -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para a função periódica no intervalo . Série de Fourier é uma forma de expressar funções periódicas como uma soma de cossenos e senos. Para fazer isso, vamos usar as fórmulas básicas da série de Fourier para funções com período .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier. Para uma função periódica com período , a série de Fourier é dada por:
Aqui, é o termo constante, e e são os coeficientes que determinam as amplitudes dos cossenos e senos, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o termo constante . A fórmula para é:
Como , a integral fica bem simples:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes para . A fórmula é:
Substituindo :
Sabemos que a integral de de a é zero para todo inteiro diferente de zero. Portanto, para todo .

Passo 5

Vamos calcular também os coeficientes . A fórmula é:
Substituindo :
Assim como os , a integral de de a também é zero para todo inteiro. Portanto, para todo .

Passo 6

Com todos os coeficientes calculados, vamos montar a série de Fourier:

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é simplesmente .

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