Encontre a série de Fourier para as funções periódicas nos intervalos especificados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier para a função periódica
no intervalo
. Série de Fourier é uma forma de expressar funções periódicas como uma soma de cossenos e senos. Para fazer isso, vamos usar as fórmulas básicas da série de Fourier para funções com período
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral da série de Fourier. Para uma função
periódica com período
, a série de Fourier é dada por:
Aqui,
é o termo constante, e
e
são os coeficientes que determinam as amplitudes dos cossenos e senos, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o termo constante
. A fórmula para
é:
Como
, a integral fica bem simples:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
. A fórmula é:
Substituindo
:
Sabemos que a integral de
de
a
é zero para todo
inteiro diferente de zero. Portanto,
para todo
.
Passo 5
Vamos calcular também os coeficientes
. A fórmula é:
Substituindo
:
Assim como os
, a integral de
de
a
também é zero para todo
inteiro. Portanto,
para todo
.
Passo 6
Com todos os coeficientes calculados, vamos montar a série de Fourier:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é simplesmente
.