Um dos modelos de crescimento populacional mais conhecidos é do economista inglês Thomas Malthus, apresentado em 1798. O modelo malthusiano pressupõe que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. Matematicamente, se
é a população total no instante t, então, o modelo contínuo de Malthus é:
onde
é uma constante de crescimento. Determine a função
que descreve a população no instante
para esse modelo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o modelo de crescimento populacional de Malthus. A ideia é descobrir como a população
muda ao longo do tempo
. A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente uma equação que relaciona a taxa de crescimento da população com a própria população. Para resolver, vamos precisar usar cálculo, mais precisamente integração de equações diferenciais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui,
representa a taxa de variação da população ao longo do tempo, e
é uma constante que indica a taxa de crescimento. Essa equação diz que a taxa de crescimento da população é proporcional à população atual.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, precisamos separar as variáveis
e
. Vamos reorganizar a equação:
Agora, temos os termos de
de um lado e os termos de
do outro.
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A integra de
é
, e a integra de
é
mais uma constante de integração
. Assim:
Passo 5
Para resolver para
, vamos exponenciar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos reescrever isso como:
Aqui,
é apenas uma constante, que podemos chamar de
(a população inicial).
Passo 6
Então, a solução geral da equação é:
Onde:
-
é a população no tempo , -
é a população inicial, -
é a constante de crescimento.
Resposta
A função que descreve a população no instante
é:
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(d) sujeito ao vínculo
;
(d)
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.