Um dos modelos de crescimento populacional mais conhecidos é do economista inglês Thomas Malthus, apresentado em 1798. O modelo malthusiano pressupõe que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado instante é proporcional à população total do país naquele instante. Matematicamente, se P(t) é a população total no instante t, então, o modelo contínuo de Malthus é:
dP/dt = k P
onde k é uma constante de crescimento. Determine a função P(t) que descreve a população no instante t para esse modelo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o modelo de crescimento populacional de Malthus. A ideia é descobrir como a população P(t) muda ao longo do tempo t. A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente uma equação que relaciona a taxa de crescimento da população com a própria população. Para resolver, vamos precisar usar cálculo, mais precisamente integração de equações diferenciais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
Aqui, dP/dt representa a taxa de variação da população ao longo do tempo, e k é uma constante que indica a taxa de crescimento. Essa equação diz que a taxa de crescimento da população é proporcional à população atual.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, precisamos separar as variáveis P e t. Vamos reorganizar a equação:
Agora, temos os termos de P de um lado e os termos de t do outro.

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. A integra de é , e a integra de é mais uma constante de integração C. Assim:

Passo 5

Para resolver para P, vamos exponenciar ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, é apenas uma constante, que podemos chamar de (a população inicial).

Passo 6

Então, a solução geral da equação é:
Onde:
  • P(t) é a população no tempo t,
  • é a população inicial,
  • k é a constante de crescimento.

Resposta

A função que descreve a população no instante t é:

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