Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de f sujeitos aos vínculos indicados.
© f(x, y, z) = x + y + z sujeito ao vínculo x^2 + y^2 + z^2 = 25;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos da função sob a condição de que . Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição que temos. A fórmula geral é:
Onde:
  • é a função que queremos otimizar.
  • é a restrição.
  • é o multiplicador de Lagrange.
No nosso caso:
Então, a função de Lagrange fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , , e , e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que precisamos resolver.

Passo 4

Observando as primeiras três equações, vemos que todas são iguais a , e . Isso significa que:
Ou seja, , e são iguais entre si.

Passo 5

Agora, vamos usar a restrição . Como , podemos substituir:
Portanto:

Passo 6

Por fim, vamos calcular os valores da função nos pontos encontrados.
Para :
Para :

Resposta

Os extremos da função são (máximo) e (mínimo).

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