Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
©
sujeito ao vínculo
;
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos da função
sob a condição de que
. Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição que temos. A fórmula geral é:
Onde:
-
é a função que queremos otimizar. -
é a restrição. -
é o multiplicador de Lagrange.
No nosso caso:
Então, a função de Lagrange fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
,
e
, e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações que precisamos resolver.
Passo 4
Observando as primeiras três equações, vemos que todas são iguais a
,
e
. Isso significa que:
Ou seja,
,
e
são iguais entre si.
Passo 5
Agora, vamos usar a restrição
. Como
, podemos substituir:
Portanto:
Passo 6
Por fim, vamos calcular os valores da função
nos pontos encontrados.
Para
:
Para
:
Resposta
Os extremos da função são
(máximo) e
(mínimo).
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em um circuito RC em série (Resistor - Capacitor) é dado pela EDO.
Busque um fator integrante para essa equação diferencial e encontre a função
.
Exercício 2.23. Use os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos de
sujeitos aos vínculos indicados.
(e) sujeito ao vínculo
.
(e)
Escreva a matriz
do tipo 3 por 2 tal que
.