Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, onde buscamos encontrar uma função
que satisfaça a equação dada. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as
fiquem de um lado e os
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para trazer o
para o lado esquerdo:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função
cuja derivada satisfaça a equação original. Então, integramos:
A integral de
é
e a integral de
é
, então temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
para encontrar a solução geral da equação diferencial. Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como uma nova constante
, já que
é qualquer constante real. Assim:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante real.