Resolva as equações diferenciais exibindo as devidas passagens algébricas.
b dx/dt = t/x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, onde buscamos encontrar uma função que satisfaça a equação dada. Para resolver, vamos precisar usar o método de separação de variáveis, que ajuda a reorganizar a equação de forma que todas as fiquem de um lado e os do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis. Temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por para trazer o para o lado esquerdo:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 3

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada satisfaça a equação original. Então, integramos:
A integral de é e a integral de é , então temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos resolver para para encontrar a solução geral da equação diferencial. Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear como uma nova constante , já que é qualquer constante real. Assim:
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante real.

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