Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
(b) Determine o sinal de saída
para uma entrada da forma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um sistema LTI (Linear e Invariante no Tempo) que responde a um impulso de entrada com a função
. A gente precisa encontrar a saída
quando a entrada é
. Para isso, vamos usar a fórmula de convolução, que é essencial para sistemas LTI. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a convolução no tempo discreto é dada por:
Isso significa que para cada valor de
, a saída
é a soma das multiplicações de
por
para todos os
.
Passo 3
Vamos identificar os intervalos onde
e
são diferentes de zero. A função degrau unitário
é igual a 0 para
e 1 para
.
Para
:
-
é 1 para -
é 1 para -
é 1 para
Então,
é:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Agora, para
, ela é 0 para
e 1 para
.
Vamos usar a convolução:
Como
é 0 para
, ou seja,
, e
é 0 fora de
, a soma se reduz a:
Passo 5
Vamos calcular
para diferentes intervalos de
:
-
Para
: -
para todos , então - Logo,
-
-
Para
: - Só alguns termos de
fazem - Depois de calcular, descobrimos que
- Só alguns termos de
-
Para
: - Mais termos contribuem, e após a soma, encontramos
- Mais termos contribuem, e após a soma, encontramos
-
Para
: - Novamente, a soma cancela e
- Novamente, a soma cancela e
Passo 6
Juntando tudo, a saída
fica assim:
Resposta
A saída do sistema é: