Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
h[n]=u[n+5]-2 u[n]+u[n-4]
(b) Determine o sinal de saída y[n] para uma entrada da forma.
x[n]=u[n-2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um sistema LTI (Linear e Invariante no Tempo) que responde a um impulso de entrada com a função h[n]=u[n+5]-2 u[n]+u[n-4]. A gente precisa encontrar a saída y[n] quando a entrada é x[n]=u[n-2]. Para isso, vamos usar a fórmula de convolução, que é essencial para sistemas LTI. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a convolução no tempo discreto é dada por:
y[n] = h[n] * x[n] = sumk=-infty^infty h[k] cdot x[n - k]
Isso significa que para cada valor de n, a saída y[n] é a soma das multiplicações de h[k] por x[n - k] para todos os k.

Passo 3

Vamos identificar os intervalos onde h[n] e x[n] são diferentes de zero. A função degrau unitário u[n] é igual a 0 para n < 0 e 1 para n >= 0.
Para h[n] = u[n+5] - 2u[n] + u[n-4]:
  • u[n+5] é 1 para n >= -5
  • u[n] é 1 para n >= 0
  • u[n-4] é 1 para n >= 4
Então, h[n] é:
  • Para n < -5: 0 - 0 + 0 = 0
  • Para -5 <= n < 0: 1 - 0 + 0 = 1
  • Para 0 <= n < 4: 1 - 2 + 0 = -1
  • Para n >= 4: 1 - 2 + 1 = 0

Passo 4

Agora, para x[n] = u[n - 2], ela é 0 para n < 2 e 1 para n >= 2.
Vamos usar a convolução:
y[n] = sumk=-infty^infty h[k] cdot x[n - k]
Como x[n - k] é 0 para n - k < 2, ou seja, k > n - 2, e h[k] é 0 fora de -5 <= k < 4, a soma se reduz a:
y[n] = sumk=-5^3 h[k] cdot x[n - k]

Passo 5

Vamos calcular y[n] para diferentes intervalos de n:
  1. Para n < -3:
    • n - k < 2 para todos k >= -5, então x[n - k] = 0
    • Logo, y[n] = 0
  2. Para -3 <= n < 2:
    • Só alguns termos de k fazem x[n - k] = 1
    • Depois de calcular, descobrimos que y[n] = 1
  3. Para 2 <= n < 7:
    • Mais termos contribuem, e após a soma, encontramos y[n] = -1
  4. Para n >= 7:
    • Novamente, a soma cancela e y[n] = 0

Passo 6

Juntando tudo, a saída y[n] fica assim:
y[n] = 0 & para n < -3 1 & para -3 <= n < 2 -1 & para 2 <= n < 7 0 & para n >= 7

Resposta

A saída do sistema é:
y[n] = 0 & para n < -3 1 & para -3 <= n < 2 -1 & para 2 <= n < 7 0 & para n >= 7

Exercícios relacionados