Composição de duas transformações de Lorentz. Sejam três sistemas de referência inerciais e alinhados. desloca-se em relação a com velocidade , e desloca-se em relação a com velocidade . As duas velocidades têm o mesmo sentido (sentido positivo do eixo ). (a) Combine as relações das transformações para obter as relações da transformação . Identifique os fatores

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos três sistemas de referência inerciais alinhados: , e . O sistema está se movendo em relação ao com uma velocidade , e o sistema está se movendo em relação ao com uma velocidade . Ambas as velocidades são na direção positiva do eixo .
Nós vamos usar o conteúdo de Transformações de Lorentz, que é fundamental para entender como as coordenadas de espaço e tempo mudam entre sistemas em movimento relativo. Precisaremos das fórmulas das Transformações de Lorentz para combinar as duas transformações e encontrar a relação direta entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as Transformações de Lorentz para uma única mudança de referência de para com velocidade na direção :
onde e é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos escrever as Transformações de Lorentz de para , com velocidade :
onde .

Passo 4

Agora, para combinar as duas transformações e obter , vamos substituir e da primeira transformação na segunda transformação.
Substituindo e na segunda transformação:

Passo 5

Simplificando as expressões para e :

Passo 6

Podemos identificar os fatores finais da transformação composta:
Portanto, as transformações resultantes são:

Resposta

As relações da transformação composta são:
onde e .

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Defina o fator . Partindo das T.L. para as velocidades, mostre que .