Composição de duas transformações de Lorentz. Sejam três sistemas de referência inerciais e alinhados. desloca-se em relação a com velocidade , e desloca-se em relação a com velocidade . As duas velocidades têm o mesmo sentido (sentido positivo do eixo ). (a) Combine as relações das transformações para obter as relações da transformação . Identifique os fatores
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos três sistemas de referência inerciais alinhados: , e . O sistema está se movendo em relação ao com uma velocidade , e o sistema está se movendo em relação ao com uma velocidade . Ambas as velocidades são na direção positiva do eixo .
Nós vamos usar o conteúdo de Transformações de Lorentz, que é fundamental para entender como as coordenadas de espaço e tempo mudam entre sistemas em movimento relativo. Precisaremos das fórmulas das Transformações de Lorentz para combinar as duas transformações e encontrar a relação direta entre e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as Transformações de Lorentz para uma única mudança de referência de para com velocidade na direção :
onde e é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos escrever as Transformações de Lorentz de para , com velocidade :
onde .
Passo 4
Agora, para combinar as duas transformações e obter , vamos substituir e da primeira transformação na segunda transformação.
Substituindo e na segunda transformação:
Passo 5
Simplificando as expressões para e :
Passo 6
Podemos identificar os fatores finais da transformação composta: