Composição de duas transformações de Lorentz. Sejam três sistemas de referência inerciais S, S^prime e S^prime prime alinhados. S^prime desloca-se em relação a S com velocidade V, e S^prime prime desloca-se em relação a S^prime com velocidade V^prime. As duas velocidades têm o mesmo sentido (sentido positivo do eixo x ). (a) Combine as relações das transformações (x, y, z, t) (x^prime, y^prime, z^prime, t^prime) e(x^prime, y^prime, z^prime, t) (x^prime prime, y^prime prime, z^prime prime, t^prime prime) para obter as relações da transformação (x, y, z, t) (x^prime prime, y^prime prime, z^prime prime, t^prime prime). Identifique os fatores

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos três sistemas de referência inerciais alinhados: , e . O sistema está se movendo em relação ao com uma velocidade , e o sistema está se movendo em relação ao com uma velocidade . Ambas as velocidades são na direção positiva do eixo .
Nós vamos usar o conteúdo de Transformações de Lorentz, que é fundamental para entender como as coordenadas de espaço e tempo mudam entre sistemas em movimento relativo. Precisaremos das fórmulas das Transformações de Lorentz para combinar as duas transformações e encontrar a relação direta entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as Transformações de Lorentz para uma única mudança de referência de x' = gamma (x - Vt) y' = y z' = z t' = gamma (t - Vxc^2) para com velocidade na direção :
onde e é a velocidade da luz.

Passo 3

Agora, vamos escrever as Transformações de Lorentz de x'' = gamma' (x' - V't') y'' = y' z'' = z' t'' = gamma' (t' - V'x'c^2) para , com velocidade :
onde .

Passo 4

Agora, para combinar as duas transformações e obter x'' = gamma' [ gamma (x - Vt) - V' gamma (t - Vxc^2) ] , vamos substituir t'' = gamma' [ gamma (t - Vxc^2) - V' gamma (x - Vt)c^2 ] e da primeira transformação na segunda transformação.
Substituindo e na segunda transformação:

Passo 5

Simplificando as expressões para x'' = gamma gamma' [ x - Vt - V't + V V' xc^2 ] = gamma gamma' [ (1 + V V'c^2)x - (V + V')t ] e t'' = gamma gamma' [ t - Vxc^2 - V' xc^2 + V V' tc^2 ] = gamma gamma' [ (1 + V V'c^2)t - (V + V')xc^2 ] :

Passo 6

Podemos identificar os fatores finais da transformação composta:
gammacomp = gamma gamma' (1 + V V'c^2)
Portanto, as transformações resultantes são:
x'' = gammacomp (x - (V + V')t)
t'' = gammacomp (t - (V + V')xc^2)

Resposta

As relações da transformação composta x'' = gamma gamma' (1 + V V'c^2) (x - (V + V')t) são:
y'' = y
z'' = z
t'' = gamma gamma' (1 + V V'c^2) (t - (V + V')xc^2)
onde e .

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