Composição de duas transformações de Lorentz. Sejam três sistemas de referência inerciais e alinhados. desloca-se em relação a com velocidade , e desloca-se em relação a com velocidade . As duas velocidades têm o mesmo sentido (sentido positivo do eixo ). (a) Combine as relações das transformações para obter as relações da transformação . Identifique os fatores
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Temos três sistemas de referência inerciais alinhados: , e . O sistema está se movendo em relação ao com uma velocidade , e o sistema está se movendo em relação ao com uma velocidade . Ambas as velocidades são na direção positiva do eixo .
Nós vamos usar o conteúdo de Transformações de Lorentz, que é fundamental para entender como as coordenadas de espaço e tempo mudam entre sistemas em movimento relativo. Precisaremos das fórmulas das Transformações de Lorentz para combinar as duas transformações e encontrar a relação direta entre e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as Transformações de Lorentz para uma única mudança de referência de para com velocidade na direção :
onde e é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos escrever as Transformações de Lorentz de x'' = gamma' (x' - V't') y'' = y' z'' = z' t'' = gamma' (t' - V'x'c^2) para , com velocidade :
onde .
Passo 4
Agora, para combinar as duas transformações e obter x'' = gamma' [ gamma (x - Vt) - V' gamma (t - Vxc^2) ] , vamos substituir t'' = gamma' [ gamma (t - Vxc^2) - V' gamma (x - Vt)c^2 ] e da primeira transformação na segunda transformação.
Substituindo e na segunda transformação:
Passo 5
Simplificando as expressões para x'' = gamma gamma' [ x - Vt - V't + V V' xc^2 ] = gamma gamma' [ (1 + V V'c^2)x - (V + V')t ] e t'' = gamma gamma' [ t - Vxc^2 - V' xc^2 + V V' tc^2 ] = gamma gamma' [ (1 + V V'c^2)t - (V + V')xc^2 ] :
Passo 6
Podemos identificar os fatores finais da transformação composta:
gammacomp = gamma gamma' (1 + V V'c^2)
Portanto, as transformações resultantes são:
x'' = gammacomp (x - (V + V')t)
t'' = gammacomp (t - (V + V')xc^2)
Resposta
As relações da transformação composta x'' = gamma gamma' (1 + V V'c^2) (x - (V + V')t) são:
y'' = y
z'' = z
t'' = gamma gamma' (1 + V V'c^2) (t - (V + V')xc^2)